MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0weon Unicode version

Theorem r0weon 8411
Description: A set-like well-ordering of the class of ordinal pairs. Proposition 7.58(1) of [TakeutiZaring] p. 54. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leweon.1
r0weon.1
Assertion
Ref Expression
r0weon
Distinct variable groups:   , ,   , , ,

Proof of Theorem r0weon
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r0weon.1 . . . . 5
2 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
42, 3uneq12d 3658 . . . . . . . . . . 11
5 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
6 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
7 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
86, 7unex 6598 . . . . . . . . . . 11
94, 5, 8fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
10 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11uneq12d 3658 . . . . . . . . . . 11
13 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
14 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14unex 6598 . . . . . . . . . . 11
1612, 5, 15fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
179, 16breqan12d 4467 . . . . . . . . 9
1815epelc 4798 . . . . . . . . 9
1917, 18syl6bb 261 . . . . . . . 8
209, 16eqeqan12d 2480 . . . . . . . . 9
2120anbi1d 704 . . . . . . . 8
2219, 21orbi12d 709 . . . . . . 7
2322pm5.32i 637 . . . . . 6
2423opabbii 4516 . . . . 5
251, 24eqtr4i 2489 . . . 4
26 xp1st 6830 . . . . . . . 8
27 xp2nd 6831 . . . . . . . 8
28 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
2928elon 4892 . . . . . . . . 9
30 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
3130elon 4892 . . . . . . . . 9
32 ordun 4984 . . . . . . . . 9
3329, 31, 32syl2anb 479 . . . . . . . 8
3426, 27, 33syl2anc 661 . . . . . . 7
3528, 30unex 6598 . . . . . . . 8
3635elon 4892 . . . . . . 7
3734, 36sylibr 212 . . . . . 6
385, 37fmpti 6054 . . . . 5
3938a1i 11 . . . 4
40 epweon 6619 . . . . 5
4140a1i 11 . . . 4
42 leweon.1 . . . . . 6
4342leweon 8410 . . . . 5
4443a1i 11 . . . 4
45 vex 3112 . . . . . . . 8
4645dmex 6733 . . . . . . 7
4745rnex 6734 . . . . . . 7
4846, 47unex 6598 . . . . . 6
49 imadmres 5504 . . . . . . 7
50 inss2 3718 . . . . . . . . . 10
51 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . . . 14
5250sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 1st2nd2 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 56eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15
5828, 30opeldm 5211 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
6051, 59sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . 13
61 ssun2 3667 . . . . . . . . . . . . . 14
6228, 30opelrn 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15
6357, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
6461, 63sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . 13
65 prssi 4186 . . . . . . . . . . . . 13
6660, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6752, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6852, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
69 ordunpr 6661 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7166, 70sseldd 3504 . . . . . . . . . . 11
7271rgen 2817 . . . . . . . . . 10
73 ssrab 3577 . . . . . . . . . 10
7450, 72, 73mpbir2an 920 . . . . . . . . 9
75 dmres 5299 . . . . . . . . . 10
7638fdmi 5741 . . . . . . . . . . 11
7776ineq2i 3696 . . . . . . . . . 10
7875, 77eqtri 2486 . . . . . . . . 9
795mptpreima 5505 . . . . . . . . 9
8074, 78, 793sstr4i 3542 . . . . . . . 8
81 funmpt 5629 . . . . . . . . 9
82 resss 5302 . . . . . . . . . 10
83 dmss 5207 . . . . . . . . . 10
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . 9
85 funimass3 6003 . . . . . . . . 9
8681, 84, 85mp2an 672 . . . . . . . 8
8780, 86mpbir 209 . . . . . . 7
8849, 87eqsstr3i 3534 . . . . . 6
8948, 88ssexi 4597 . . . . 5
9089a1i 11 . . . 4
9125, 39, 41, 44, 90fnwe 6916 . . 3
92 epse 4867 . . . . 5
9392a1i 11 . . . 4
9445uniex 6596 . . . . . . . 8
9594pwex 4635 . . . . . . 7
9695, 95xpex 6604 . . . . . 6
975mptpreima 5505 . . . . . . . 8
98 df-rab 2816 . . . . . . . 8
9997, 98eqtri 2486 . . . . . . 7
10053adantr 465 . . . . . . . . 9
101 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
103102unssad 3680 . . . . . . . . . . 11
10428elpw 4018 . . . . . . . . . . 11
105103, 104sylibr 212 . . . . . . . . . 10
106102unssbd 3681 . . . . . . . . . . 11
10730elpw 4018 . . . . . . . . . . 11
108106, 107sylibr 212 . . . . . . . . . 10
109105, 108jca 532 . . . . . . . . 9
110 elxp6 6832 . . . . . . . . 9
111100, 109, 110sylanbrc 664 . . . . . . . 8
112111abssi 3574 . . . . . . 7
11399, 112eqsstri 3533 . . . . . 6
11496, 113ssexi 4597 . . . . 5
115114a1i 11 . . . 4
11625, 39, 93, 115fnse 6917 . . 3
11791, 116jca 532 . 2
118117trud 1404 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395   wtru 1396  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510   cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  -->wf 5589  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  infxpenlem  8412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator