MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elwf Unicode version

Theorem r1elwf 8235
Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elwf

Proof of Theorem r1elwf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8205 . . . . . 6
21simpri 462 . . . . 5
3 limord 4942 . . . . 5
4 ordsson 6625 . . . . 5
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4
6 elfvdm 5897 . . . 4
75, 6sseldi 3501 . . 3
8 r1tr 8215 . . . . . 6
9 trss 4554 . . . . . 6
108, 9ax-mp 5 . . . . 5
11 elpwg 4020 . . . . 5
1210, 11mpbird 232 . . . 4
13 r1sucg 8208 . . . . 5
146, 13syl 16 . . . 4
1512, 14eleqtrrd 2548 . . 3
16 suceq 4948 . . . . . 6
1716fveq2d 5875 . . . . 5
1817eleq2d 2527 . . . 4
1918rspcev 3210 . . 3
207, 15, 19syl2anc 661 . 2
21 rankwflemb 8232 . 2
2220, 21sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8237  pwwf  8246  sswf  8247  unwf  8249  uniwf  8258  rankonidlem  8267  r1pw  8284  r1pwcl  8286  rankr1id  8301  tcrank  8323  dfac12lem2  8545  r1limwun  9135  r1wunlim  9136  inatsk  9177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator