Theorem r1limwun 9135

Description: Each limit stage in the cumulative hierarchy is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
r1limwun

Proof of Theorem r1limwun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1tr 8215	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		limelon 4946	. . . . . 6
4		r1fnon 8206	. . . . . . 7
5		fndm 5685	. . . . . . 7
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6
7	3, 6	syl6eleqr 2556	. . . . 5
8		onssr1 8270	. . . . 5
9	7, 8	syl 16	. . . 4
10		0ellim 4945	. . . . 5
11	10	adantl 466	. . . 4
12	9, 11	sseldd 3504	. . 3
13		ne0i 3790	. . 3
14	12, 13	syl 16	. 2
15		rankuni 8302	. . . . . 6
16		rankon 8234	. . . . . . . . 9
17		eloni 4893	. . . . . . . . 9
18		orduniss 4977	. . . . . . . . 9
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . . 8
20	19	a1i 11	. . . . . . 7
21		rankr1ai 8237	. . . . . . . 8
22	21	adantl 466	. . . . . . 7
23		onuni 6628	. . . . . . . . 9
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8
25	3	adantr 465	. . . . . . . 8
26		ontr2 4930	. . . . . . . 8
27	24, 25, 26	sylancr 663	. . . . . . 7
28	20, 22, 27	mp2and 679	. . . . . 6
29	15, 28	syl5eqel 2549	. . . . 5
30		r1elwf 8235	. . . . . . . 8
31	30	adantl 466	. . . . . . 7
32		uniwf 8258	. . . . . . 7
33	31, 32	sylib 196	. . . . . 6
34	7	adantr 465	. . . . . 6
35		rankr1ag 8241	. . . . . 6
36	33, 34, 35	syl2anc 661	. . . . 5
37	29, 36	mpbird 232	. . . 4
38		r1pwcl 8286	. . . . . 6
39	38	adantl 466	. . . . 5
40	39	biimpa 484	. . . 4
41	30	ad2antlr 726	. . . . . . . 8
42		r1elwf 8235	. . . . . . . . 9
43	42	adantl 466	. . . . . . . 8
44		rankprb 8290	. . . . . . . 8
45	41, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . 7
46		limord 4942	. . . . . . . . . 10
47	46	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9
48	22	adantr 465	. . . . . . . . 9
49		rankr1ai 8237	. . . . . . . . . 10
50	49	adantl 466	. . . . . . . . 9
51		ordunel 6662	. . . . . . . . 9
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
53		limsuc 6684	. . . . . . . . 9
54	53	ad3antlr 730	. . . . . . . 8
55	52, 54	mpbid 210	. . . . . . 7
56	45, 55	eqeltrd 2545	. . . . . 6
57		prwf 8250	. . . . . . . 8
58	41, 43, 57	syl2anc 661	. . . . . . 7
59	34	adantr 465	. . . . . . 7
60		rankr1ag 8241	. . . . . . 7
61	58, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . 6
62	56, 61	mpbird 232	. . . . 5
63	62	ralrimiva 2871	. . . 4
64	37, 40, 63	3jca 1176	. . 3
65	64	ralrimiva 2871	. 2
66		fvex 5881	. . 3
67		iswun 9103	. . 3
68	66, 67	ax-mp 5	. 2
69	2, 14, 65, 68	syl3anbrc 1180	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {cpr 4031  U.cuni 4249  Trwtr 4545  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202  cwun 9099

This theorem is referenced by:  r1wunlim  9136  wunex3  9140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204  df-wun 9101