MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1om Unicode version

Theorem r1om 8645
Description: The set of hereditarily finite sets is countable. See ackbij2 8644 for an explicit bijection that works without Infinity. See also r1omALT 9175. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1om

Proof of Theorem r1om
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8081 . . . 4
2 limom 6715 . . . 4
3 r1lim 8211 . . . 4
41, 2, 3mp2an 672 . . 3
5 r1fnon 8206 . . . 4
6 fnfun 5683 . . . 4
7 funiunfv 6160 . . . 4
85, 6, 7mp2b 10 . . 3
94, 8eqtri 2486 . 2
10 iuneq1 4344 . . . . . . 7
11 sneq 4039 . . . . . . . . 9
12 pweq 4015 . . . . . . . . 9
1311, 12xpeq12d 5029 . . . . . . . 8
1413cbviunv 4369 . . . . . . 7
1510, 14syl6eq 2514 . . . . . 6
1615fveq2d 5875 . . . . 5
1716cbvmptv 4543 . . . 4
18 dmeq 5208 . . . . . . . 8
1918pweqd 4017 . . . . . . 7
20 imaeq1 5337 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5875 . . . . . . 7
2219, 21mpteq12dv 4530 . . . . . 6
23 imaeq2 5338 . . . . . . . 8
2423fveq2d 5875 . . . . . . 7
2524cbvmptv 4543 . . . . . 6
2622, 25syl6eq 2514 . . . . 5
2726cbvmptv 4543 . . . 4
28 eqid 2457 . . . 4
2917, 27, 28ackbij2 8644 . . 3
30 fvex 5881 . . . . 5
319, 30eqeltrri 2542 . . . 4
3231f1oen 7556 . . 3
3329, 32ax-mp 5 . 2
349, 33eqbrtri 4471 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  Limwlim 4884  X.cxp 5002  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cfn 7536   cr1 8201   ccrd 8337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator