MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ordg Unicode version

Theorem r1ordg 8217
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4
2 r1funlim 8205 . . . . . . . 8
32simpri 462 . . . . . . 7
4 limord 4942 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6
6 ordsson 6625 . . . . . 6
75, 6ax-mp 5 . . . . 5
87sseli 3499 . . . 4
91, 8syl 16 . . 3
10 onelon 4908 . . . . 5
118, 10sylan 471 . . . 4
12 suceloni 6648 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
14 eloni 4893 . . . . . 6
15 ordsucss 6653 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
1716imp 429 . . . 4
188, 17sylan 471 . . 3
19 eleq1 2529 . . . . . 6
20 fveq2 5871 . . . . . . 7
2120eleq2d 2527 . . . . . 6
2219, 21imbi12d 320 . . . . 5
23 eleq1 2529 . . . . . 6
24 fveq2 5871 . . . . . . 7
2524eleq2d 2527 . . . . . 6
2623, 25imbi12d 320 . . . . 5
27 eleq1 2529 . . . . . 6
28 fveq2 5871 . . . . . . 7
2928eleq2d 2527 . . . . . 6
3027, 29imbi12d 320 . . . . 5
31 eleq1 2529 . . . . . 6
32 fveq2 5871 . . . . . . 7
3332eleq2d 2527 . . . . . 6
3431, 33imbi12d 320 . . . . 5
35 fvex 5881 . . . . . . . 8
3635pwid 4026 . . . . . . 7
37 limsuc 6684 . . . . . . . . 9
383, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8
39 r1sucg 8208 . . . . . . . 8
4038, 39sylbir 213 . . . . . . 7
4136, 40syl5eleqr 2552 . . . . . 6
4241a1i 11 . . . . 5
43 limsuc 6684 . . . . . . . 8
443, 43ax-mp 5 . . . . . . 7
45 r1tr 8215 . . . . . . . . . . 11
46 dftr4 4550 . . . . . . . . . . 11
4745, 46mpbi 208 . . . . . . . . . 10
48 r1sucg 8208 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl5sseqr 3552 . . . . . . . . 9
5049sseld 3502 . . . . . . . 8
5150a2i 13 . . . . . . 7
5244, 51syl5bir 218 . . . . . 6
5352a1i 11 . . . . 5
54 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
55 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
56 sucelon 6652 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
58 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . 14
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
60 ordelsuc 6655 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6254, 61mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
63 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . 12
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
6562, 64mpbid 210 . . . . . . . . . 10
66 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
67 ordtr1 4926 . . . . . . . . . . . . . 14
685, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
6962, 66, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7069, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11
7136, 70syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . 10
72 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
7372eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
7473rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
7565, 71, 74syl2anc 661 . . . . . . . . 9
76 eliun 4335 . . . . . . . . 9
7775, 76sylibr 212 . . . . . . . 8
78 simpll 753 . . . . . . . . 9
79 r1limg 8210 . . . . . . . . 9
8066, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . 8
8177, 80eleqtrrd 2548 . . . . . . 7
8281expr 615 . . . . . 6
8382a1d 25 . . . . 5
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 6695 . . . 4
8584impr 619 . . 3
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 1229 . 2
8786ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201
This theorem is referenced by:  r1ord3g  8218  r1ord  8219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator