Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pval Unicode version

Theorem r1pval 21728
 Description: Value of the polynomial remainder function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pval.e
r1pval.p
r1pval.b
r1pval.q
r1pval.t
r1pval.m
Assertion
Ref Expression
r1pval

Proof of Theorem r1pval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1pval.p . . . . 5
2 r1pval.b . . . . 5
31, 2elbasfv 14307 . . . 4
5 r1pval.e . . . 4
6 fveq2 5773 . . . . . . . . . 10
76, 1syl6eqr 2508 . . . . . . . . 9
87fveq2d 5777 . . . . . . . 8
98, 2syl6eqr 2508 . . . . . . 7
109csbeq1d 3377 . . . . . 6
11 fvex 5783 . . . . . . . . 9
122, 11eqeltri 2532 . . . . . . . 8
1312a1i 11 . . . . . . 7
14 simpr 461 . . . . . . . 8
157fveq2d 5777 . . . . . . . . . . 11
16 r1pval.m . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl6eqr 2508 . . . . . . . . . 10
18 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10
197fveq2d 5777 . . . . . . . . . . . 12
20 r1pval.t . . . . . . . . . . . 12
2119, 20syl6eqr 2508 . . . . . . . . . . 11
22 fveq2 5773 . . . . . . . . . . . . 13
23 r1pval.q . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl6eqr 2508 . . . . . . . . . . . 12
2524oveqd 6191 . . . . . . . . . . 11
26 eqidd 2451 . . . . . . . . . . 11
2721, 25, 26oveq123d 6195 . . . . . . . . . 10
2817, 18, 27oveq123d 6195 . . . . . . . . 9
2928adantr 465 . . . . . . . 8
3014, 14, 29mpt2eq123dv 6231 . . . . . . 7
3113, 30csbied 3396 . . . . . 6
3210, 31eqtrd 2490 . . . . 5
33 df-r1p 21705 . . . . 5
3412, 12mpt2ex 6734 . . . . 5
3532, 33, 34fvmpt 5857 . . . 4
365, 35syl5eq 2502 . . 3
374, 36syl 16 . 2
38 simpl 457 . . . 4
39 oveq12 6183 . . . . 5
40 simpr 461 . . . . 5
4139, 40oveq12d 6192 . . . 4
4238, 41oveq12d 6192 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757   cvv 3052  [_csb 3370  cfv 5500  (class class class)co 6174  e.`cmpt2 6176   cbs 14260   cmulr 14325   csg 15499   cpl1 17724   cq1p 21699   cr1p 21700 This theorem is referenced by:  r1pcl  21729  r1pdeglt  21730  r1pid  21731  dvdsr1p  21733  ig1pdvds  21748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-slot 14264  df-base 14265  df-r1p 21705