Theorem r1pw 8284

Description: A stronger property of than rankpw 8282. The latter merely proves that of the successor is a power set, but here we prove that if is in the cumulative hierarchy, then is in the cumulative hierarchy of the successor. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1pw

Proof of Theorem r1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankpwi 8262	. . . . . 6
2	1	eleq1d 2526	. . . . 5
3		eloni 4893	. . . . . . 7
4		ordsucelsuc 6657	. . . . . . 7
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6
6	5	bicomd 201	. . . . 5
7	2, 6	sylan9bb 699	. . . 4
8		pwwf 8246	. . . . . 6
9	8	biimpi 194	. . . . 5
10		suceloni 6648	. . . . . 6
11		r1fnon 8206	. . . . . . 7
12		fndm 5685	. . . . . . 7
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6
14	10, 13	syl6eleqr 2556	. . . . 5
15		rankr1ag 8241	. . . . 5
16	9, 14, 15	syl2an 477	. . . 4
17	13	eleq2i 2535	. . . . 5
18		rankr1ag 8241	. . . . 5
19	17, 18	sylan2br 476	. . . 4
20	7, 16, 19	3bitr4rd 286	. . 3
21	20	ex 434	. 2
22		r1elwf 8235	. . . 4
23		r1elwf 8235	. . . . . 6
24		r1elssi 8244	. . . . . 6
25	23, 24	syl 16	. . . . 5
26		ssid 3522	. . . . . 6
27		elex 3118	. . . . . . . 8
28		pwexb 6611	. . . . . . . 8
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . . 7
30		elpwg 4020	. . . . . . 7
31	29, 30	syl 16	. . . . . 6
32	26, 31	mpbiri 233	. . . . 5
33	25, 32	sseldd 3504	. . . 4
34	22, 33	pm5.21ni 352	. . 3
35	34	a1d 25	. 2
36	21, 35	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  inatsk  9177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204