MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pw Unicode version

Theorem r1pw 8189
Description: A stronger property of than rankpw 8187. The latter merely proves that of the successor is a power set, but here we prove that if is in the cumulative hierarchy, then is in the cumulative hierarchy of the successor. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pw

Proof of Theorem r1pw
StepHypRef Expression
1 rankpwi 8167 . . . . . 6
21eleq1d 2523 . . . . 5
3 eloni 4846 . . . . . . 7
4 ordsucelsuc 6566 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65bicomd 201 . . . . 5
72, 6sylan9bb 699 . . . 4
8 pwwf 8151 . . . . . 6
98biimpi 194 . . . . 5
10 suceloni 6557 . . . . . 6
11 r1fnon 8111 . . . . . . 7
12 fndm 5629 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
1410, 13syl6eleqr 2553 . . . . 5
15 rankr1ag 8146 . . . . 5
169, 14, 15syl2an 477 . . . 4
1713eleq2i 2532 . . . . 5
18 rankr1ag 8146 . . . . 5
1917, 18sylan2br 476 . . . 4
207, 16, 193bitr4rd 286 . . 3
2120ex 434 . 2
22 r1elwf 8140 . . . 4
23 r1elwf 8140 . . . . . 6
24 r1elssi 8149 . . . . . 6
2523, 24syl 16 . . . . 5
26 ssid 3489 . . . . . 6
27 elex 3090 . . . . . . . 8
28 pwexb 6520 . . . . . . . 8
2927, 28sylibr 212 . . . . . . 7
30 elpwg 3984 . . . . . . 7
3129, 30syl 16 . . . . . 6
3226, 31mpbiri 233 . . . . 5
3325, 32sseldd 3471 . . . 4
3422, 33pm5.21ni 352 . . 3
3534a1d 25 . 2
3621, 35pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  C_wss 3442  ~Pcpw 3976  U.cuni 4208  Ordword 4835   con0 4836  succsuc 4838  domcdm 4957  "cima 4960  Fnwfn 5532  `cfv 5537   cr1 8106   crnk 8107
This theorem is referenced by:  inatsk  9082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-r1 8108  df-rank 8109
  Copyright terms: Public domain W3C validator