MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pw Unicode version

Theorem r1pw 7999
Description: A stronger property of than rankpw 7997. The latter merely proves that of the successor is a power set, but here we prove that if is in the cumulative hierarchy, then is in the cumulative hierarchy of the successor. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pw

Proof of Theorem r1pw
StepHypRef Expression
1 rankpwi 7977 . . . . . 6
21eleq1d 2488 . . . . 5
3 eloni 4700 . . . . . . 7
4 ordsucelsuc 6403 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65bicomd 195 . . . . 5
72, 6sylan9bb 684 . . . 4
8 pwwf 7961 . . . . . 6
98biimpi 188 . . . . 5
10 suceloni 6394 . . . . . 6
11 r1fnon 7921 . . . . . . 7
12 fndm 5480 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
1410, 13syl6eleqr 2513 . . . . 5
15 rankr1ag 7956 . . . . 5
169, 14, 15syl2an 467 . . . 4
1713eleq2i 2486 . . . . 5
18 rankr1ag 7956 . . . . 5
1917, 18sylan2br 466 . . . 4
207, 16, 193bitr4rd 280 . . 3
2120ex 427 . 2
22 r1elwf 7950 . . . 4
23 r1elwf 7950 . . . . . 6
24 r1elssi 7959 . . . . . 6
2523, 24syl 16 . . . . 5
26 ssid 3352 . . . . . 6
27 elex 2960 . . . . . . . 8
28 pwexb 6357 . . . . . . . 8
2927, 28sylibr 206 . . . . . . 7
30 elpwg 3845 . . . . . . 7
3129, 30syl 16 . . . . . 6
3226, 31mpbiri 227 . . . . 5
3325, 32sseldd 3334 . . . 4
3422, 33pm5.21ni 345 . . 3
3534a1d 24 . 2
3621, 35pm2.61i 159 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  C_wss 3305  ~Pcpw 3837  U.cuni 4066  Ordword 4689   con0 4690  succsuc 4692  domcdm 4811  "cima 4814  Fnwfn 5385  `cfv 5390   cr1 7916   crnk 7917
This theorem is referenced by:  inatsk  8891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-r1 7918  df-rank 7919
  Copyright terms: Public domain W3C validator