Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pw Unicode version

Theorem r1pw 8284
 Description: A stronger property of than rankpw 8282. The latter merely proves that of the successor is a power set, but here we prove that if is in the cumulative hierarchy, then is in the cumulative hierarchy of the successor. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pw

Proof of Theorem r1pw
StepHypRef Expression
1 rankpwi 8262 . . . . . 6
21eleq1d 2526 . . . . 5
3 eloni 4893 . . . . . . 7
4 ordsucelsuc 6657 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65bicomd 201 . . . . 5
72, 6sylan9bb 699 . . . 4
8 pwwf 8246 . . . . . 6
98biimpi 194 . . . . 5
10 suceloni 6648 . . . . . 6
11 r1fnon 8206 . . . . . . 7
12 fndm 5685 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
1410, 13syl6eleqr 2556 . . . . 5
15 rankr1ag 8241 . . . . 5
169, 14, 15syl2an 477 . . . 4
1713eleq2i 2535 . . . . 5
18 rankr1ag 8241 . . . . 5
1917, 18sylan2br 476 . . . 4
207, 16, 193bitr4rd 286 . . 3
2120ex 434 . 2
22 r1elwf 8235 . . . 4
23 r1elwf 8235 . . . . . 6
24 r1elssi 8244 . . . . . 6
2523, 24syl 16 . . . . 5
26 ssid 3522 . . . . . 6
27 elex 3118 . . . . . . . 8
28 pwexb 6611 . . . . . . . 8
2927, 28sylibr 212 . . . . . . 7
30 elpwg 4020 . . . . . . 7
3129, 30syl 16 . . . . . 6
3226, 31mpbiri 233 . . . . 5
3325, 32sseldd 3504 . . . 4
3422, 33pm5.21ni 352 . . 3
3534a1d 25 . 2
3621, 35pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202 This theorem is referenced by:  inatsk  9177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator