MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwss Unicode version

Theorem r1pwss 8223
Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pwss

Proof of Theorem r1pwss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8205 . . . . . . 7
21simpri 462 . . . . . 6
3 limord 4942 . . . . . 6
42, 3ax-mp 5 . . . . 5
5 ordsson 6625 . . . . 5
64, 5ax-mp 5 . . . 4
7 elfvdm 5897 . . . 4
86, 7sseldi 3501 . . 3
9 onzsl 6681 . . 3
108, 9sylib 196 . 2
11 noel 3788 . . . . 5
12 fveq2 5871 . . . . . . . 8
13 r10 8207 . . . . . . . 8
1412, 13syl6eq 2514 . . . . . . 7
1514eleq2d 2527 . . . . . 6
1615biimpcd 224 . . . . 5
1711, 16mtoi 178 . . . 4
1817pm2.21d 106 . . 3
19 simpl 457 . . . . . . . 8
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10
2120fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
227adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2320, 22eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . 11
24 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . 12
252, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
2623, 25sylibr 212 . . . . . . . . . 10
27 r1sucg 8208 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9
2921, 28eqtrd 2498 . . . . . . . 8
3019, 29eleqtrd 2547 . . . . . . 7
31 elpwi 4021 . . . . . . . 8
32 sspwb 4701 . . . . . . . 8
3331, 32sylib 196 . . . . . . 7
3430, 33syl 16 . . . . . 6
3534, 29sseqtr4d 3540 . . . . 5
3635ex 434 . . . 4
3736rexlimdvw 2952 . . 3
38 r1tr 8215 . . . . . 6
39 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
40 r1limg 8210 . . . . . . . . . . . 12
417, 40sylan 471 . . . . . . . . . . 11
4239, 41eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10
43 eliun 4335 . . . . . . . . . 10
4442, 43sylib 196 . . . . . . . . 9
45 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
46 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . 13
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
4845, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
49 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . 12
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
5148, 50mpbid 210 . . . . . . . . . 10
52 r1tr 8215 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 trss 4554 . . . . . . . . . . . . . . 15
5552, 53, 54mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14
5655, 32sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
577ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 ordtr1 4926 . . . . . . . . . . . . . . . 16
594, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
6045, 57, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
6160, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6256, 61sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . 12
63 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
6463elpw2 4616 . . . . . . . . . . . 12
6562, 64sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
6660, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
67 r1sucg 8208 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
6965, 68eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10
70 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
7170eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
7271rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
7351, 69, 72syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7444, 73rexlimddv 2953 . . . . . . . 8
75 eliun 4335 . . . . . . . 8
7674, 75sylibr 212 . . . . . . 7
77 r1limg 8210 . . . . . . . 8
787, 77sylan 471 . . . . . . 7
7976, 78eleqtrrd 2548 . . . . . 6
80 trss 4554 . . . . . 6
8138, 79, 80mpsyl 63 . . . . 5
8281ex 434 . . . 4
8382adantld 467 . . 3
8418, 37, 833jaod 1292 . 2
8510, 84mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201
This theorem is referenced by:  r1sscl  8224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator