Theorem r1sdom 8213

Description: Each stage in the cumulative hierarchy is strictly larger than the last. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1sdom

Proof of Theorem r1sdom

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2530	. . . 4
2		fveq2 5871	. . . . 5
3	2	breq2d 4464	. . . 4
4	1, 3	imbi12d 320	. . 3
5		eleq2 2530	. . . 4
6		fveq2 5871	. . . . 5
7	6	breq2d 4464	. . . 4
8	5, 7	imbi12d 320	. . 3
9		eleq2 2530	. . . 4
10		fveq2 5871	. . . . 5
11	10	breq2d 4464	. . . 4
12	9, 11	imbi12d 320	. . 3
13		eleq2 2530	. . . 4
14		fveq2 5871	. . . . 5
15	14	breq2d 4464	. . . 4
16	13, 15	imbi12d 320	. . 3
17		noel 3788	. . . 4
18	17	pm2.21i 131	. . 3
19		elsuci 4949	. . . . 5
20		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
21	20	canth2 7690	. . . . . . . . . 10
22		r1suc 8209	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	syl5breqr 4488	. . . . . . . . 9
24		sdomtr 7675	. . . . . . . . . 10
25	24	expcom 435	. . . . . . . . 9
26	23, 25	syl 16	. . . . . . . 8
27	26	com12 31	. . . . . . 7
28	27	imim2i 14	. . . . . 6
29		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
30	29	breq1d 4462	. . . . . . . 8
31	23, 30	syl5ibr 221	. . . . . . 7
32	31	a1i 11	. . . . . 6
33	28, 32	jaod 380	. . . . 5
34	19, 33	syl5 32	. . . 4
35	34	com3r 79	. . 3
36		limuni 4943	. . . . . . 7
37	36	eleq2d 2527	. . . . . 6
38		eluni2 4253	. . . . . 6
39	37, 38	syl6bb 261	. . . . 5
40		r19.29 2992	. . . . . . 7
41		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10
43		ssiun2 4373	. . . . . . . . . . 11
44		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
45		r1lim 8211	. . . . . . . . . . . . 13
46	44, 45	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12
47	46	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . 11
48	43, 47	syl5ibr 221	. . . . . . . . . 10
49		ssdomg 7581	. . . . . . . . . 10
50	42, 48, 49	sylsyld 56	. . . . . . . . 9
51		id 22	. . . . . . . . . . 11
52	51	imp 429	. . . . . . . . . 10
53		sdomdomtr 7670	. . . . . . . . . . 11
54	53	expcom 435	. . . . . . . . . 10
55	52, 54	syl5 32	. . . . . . . . 9
56	50, 55	syl6 33	. . . . . . . 8
57	56	rexlimdv 2947	. . . . . . 7
58	40, 57	syl5 32	. . . . . 6
59	58	expcomd 438	. . . . 5
60	39, 59	sylbid 215	. . . 4
61	60	com23 78	. . 3
62	4, 8, 12, 16, 18, 35, 61	tfinds 6694	. 2
63	62	imp 429	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593  cdom 7534  csdm 7535  cr1 8201

This theorem is referenced by:  r111  8214  smobeth  8982  r1tskina  9181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-r1 8203