Theorem r1suc 8209

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 8208	. 2
2		r1fnon 8206	. . . 4
3		fndm 5685	. . . 4
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3
5	4	eqcomi 2470	. 2
6	1, 5	eleq2s 2565	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  ~Pcpw 4012  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593  cr1 8201

This theorem is referenced by:  r1sdom  8213  r1sssuc  8222  tz9.12lem3  8228  rankval2  8257  rankpwi  8262  dfac12lem2  8545  dfac12r  8547  ackbij2lem2  8641  ackbij2lem3  8642  wunr1om  9118  r1wunlim  9136  tskr1om  9166  inar1  9174  inatsk  9177  grur1a  9218  grothomex  9228  rankeq1o  29828  elhf2  29832  0hf  29834  aomclem1  31000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203