MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1tr Unicode version

Theorem r1tr 8215
Description: The cumulative hierarchy of sets is transitive. Lemma 7T of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1tr

Proof of Theorem r1tr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8205 . . . . . 6
21simpri 462 . . . . 5
3 limord 4942 . . . . 5
4 ordsson 6625 . . . . 5
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4
65sseli 3499 . . 3
7 fveq2 5871 . . . . . 6
8 r10 8207 . . . . . 6
97, 8syl6eq 2514 . . . . 5
10 treq 4551 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 fveq2 5871 . . . . 5
13 treq 4551 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
15 fveq2 5871 . . . . 5
16 treq 4551 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
18 fveq2 5871 . . . . 5
19 treq 4551 . . . . 5
2018, 19syl 16 . . . 4
21 tr0 4556 . . . 4
22 limsuc 6684 . . . . . . . 8
232, 22ax-mp 5 . . . . . . 7
24 simpr 461 . . . . . . . . 9
25 pwtr 4705 . . . . . . . . 9
2624, 25sylib 196 . . . . . . . 8
27 r1sucg 8208 . . . . . . . . 9
28 treq 4551 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8
3026, 29syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
3123, 30syl5bir 218 . . . . . 6
32 ndmfv 5895 . . . . . . . 8
33 treq 4551 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
3521, 34mpbiri 233 . . . . . 6
3631, 35pm2.61d1 159 . . . . 5
3736ex 434 . . . 4
38 triun 4558 . . . . . . . 8
39 r1limg 8210 . . . . . . . . . 10
4039ancoms 453 . . . . . . . . 9
41 treq 4551 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8
4338, 42syl5ibr 221 . . . . . . 7
4443impancom 440 . . . . . 6
45 ndmfv 5895 . . . . . . . 8
4645, 10syl 16 . . . . . . 7
4721, 46mpbiri 233 . . . . . 6
4844, 47pm2.61d1 159 . . . . 5
4948ex 434 . . . 4
5011, 14, 17, 20, 21, 37, 49tfinds 6694 . . 3
516, 50syl 16 . 2
52 ndmfv 5895 . . . 4
53 treq 4551 . . . 4
5452, 53syl 16 . . 3
5521, 54mpbiri 233 . 2
5651, 55pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201
This theorem is referenced by:  r1tr2  8216  r1ordg  8217  r1ord3g  8218  r1ord2  8220  r1sssuc  8222  r1pwss  8223  r1val1  8225  rankwflemb  8232  r1elwf  8235  r1elssi  8244  uniwf  8258  tcrank  8323  ackbij2lem3  8642  r1limwun  9135  tskr1om2  9167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator