MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1tskina Unicode version

Theorem r1tskina 9181
Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1tskina

Proof of Theorem r1tskina
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2654 . . . . 5
2 simplr 755 . . . . . . . . . 10
3 simpll 753 . . . . . . . . . 10
4 onwf 8269 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
6 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 rankr1c 8260 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86, 7mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . 15
95, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
109simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
11 r1fnon 8206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 rankonid 8268 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 15bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
1816, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 18neleqtrd 2569 . . . . . . . . . . . 12
2019adantl 466 . . . . . . . . . . 11
21 onssr1 8270 . . . . . . . . . . . . . 14
2214, 21sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13
23 tsken 9153 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
2524ord 377 . . . . . . . . . . 11
2620, 25mt3d 125 . . . . . . . . . 10
272, 3, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9
28 carden2b 8369 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8
30 simpl 457 . . . . . . . . . 10
31 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
3222adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
3332sselda 3503 . . . . . . . . . . . . 13
34 tsksdom 9155 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
36 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
3726ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . 13
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
39 sdomentr 7671 . . . . . . . . . . . 12
4035, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
4140ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
42 iscard 8377 . . . . . . . . . 10
4330, 41, 42sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
4443adantr 465 . . . . . . . 8
4529, 44eqtr3d 2500 . . . . . . 7
46 r10 8207 . . . . . . . . . . 11
47 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . 13
4847biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12
49 r1sdom 8213 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49syldan 470 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl5eqbrr 4486 . . . . . . . . . 10
52 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
53520sdom 7668 . . . . . . . . . 10
5451, 53sylib 196 . . . . . . . . 9
5554adantlr 714 . . . . . . . 8
56 tskcard 9180 . . . . . . . 8
572, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . 7
5845, 57eqeltrrd 2546 . . . . . 6
5958ex 434 . . . . 5
601, 59syl5bir 218 . . . 4
6160orrd 378 . . 3
6261ex 434 . 2
63 fveq2 5871 . . . . 5
6463, 46syl6eq 2514 . . . 4
65 0tsk 9154 . . . 4
6664, 65syl6eqel 2553 . . 3
67 inatsk 9177 . . 3
6866, 67jaoi 379 . 2
6962, 68impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593   cen 7533   csdm 7535   cr1 8201   crnk 8202   ccrd 8337   cina 9082   ctsk 9147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084  df-tsk 9148
  Copyright terms: Public domain W3C validator