MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1val1 Unicode version

Theorem r1val1 8225
Description: The value of the cumulative hierarchy of sets function expressed recursively. Theorem 7Q of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1val1
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem r1val1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6
21fveq2d 5875 . . . . 5
3 r10 8207 . . . . 5
42, 3syl6eq 2514 . . . 4
5 0ss 3814 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
74, 6eqsstrd 3537 . . 3
8 nfv 1707 . . . . 5
9 nfcv 2619 . . . . . 6
10 nfiu1 4360 . . . . . 6
119, 10nfss 3496 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10
1312fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
14 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
1514biimpac 486 . . . . . . . . . . 11
16 r1funlim 8205 . . . . . . . . . . . . 13
1716simpri 462 . . . . . . . . . . . 12
18 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
2015, 19sylibr 212 . . . . . . . . . 10
21 r1sucg 8208 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
2313, 22eqtrd 2498 . . . . . . . 8
24 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2524sucid 4962 . . . . . . . . . 10
2625, 12syl5eleqr 2552 . . . . . . . . 9
27 ssiun2 4373 . . . . . . . . 9
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8
2923, 28eqsstrd 3537 . . . . . . 7
3029ex 434 . . . . . 6
3130a1d 25 . . . . 5
328, 11, 31rexlimd 2941 . . . 4
3332imp 429 . . 3
34 r1limg 8210 . . . . 5
35 r1tr 8215 . . . . . . . . 9
36 dftr4 4550 . . . . . . . . 9
3735, 36mpbi 208 . . . . . . . 8
3837a1i 11 . . . . . . 7
3938ralrimivw 2872 . . . . . 6
40 ss2iun 4346 . . . . . 6
4139, 40syl 16 . . . . 5
4234, 41eqsstrd 3537 . . . 4
4342adantrl 715 . . 3
44 limord 4942 . . . . . . 7
4517, 44ax-mp 5 . . . . . 6
46 ordsson 6625 . . . . . 6
4745, 46ax-mp 5 . . . . 5
4847sseli 3499 . . . 4
49 onzsl 6681 . . . 4
5048, 49sylib 196 . . 3
517, 33, 43, 50mpjao3dan 1295 . 2
52 ordtr1 4926 . . . . . . . 8
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . 7
5453ancoms 453 . . . . . 6
5554, 21syl 16 . . . . 5
56 simpr 461 . . . . . . 7
57 ordelord 4905 . . . . . . . . . 10
5845, 57mpan 670 . . . . . . . . 9
5958adantr 465 . . . . . . . 8
60 ordelsuc 6655 . . . . . . . 8
6156, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . 7
6256, 61mpbid 210 . . . . . 6
6354, 19sylib 196 . . . . . . 7
64 simpl 457 . . . . . . 7
65 r1ord3g 8218 . . . . . . 7
6663, 64, 65syl2anc 661 . . . . . 6
6762, 66mpd 15 . . . . 5
6855, 67eqsstr3d 3538 . . . 4
6968ralrimiva 2871 . . 3
70 iunss 4371 . . 3
7169, 70sylibr 212 . 2
7251, 71eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8237  r1val3  8277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator