Theorem r1wunlim 9136

Description: The weak universes in the cumulative hierarchy are exactly the limit ordinals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
r1wunlim

Proof of Theorem r1wunlim

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . . 7
2	1	wun0 9117	. . . . . 6
3		elfvdm 5897	. . . . . 6
4	2, 3	syl 16	. . . . 5
5		r1fnon 8206	. . . . . 6
6		fndm 5685	. . . . . 6
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5
8	4, 7	syl6eleq 2555	. . . 4
9		eloni 4893	. . . 4
10	8, 9	syl 16	. . 3
11		n0i 3789	. . . . . 6
12	2, 11	syl 16	. . . . 5
13		fveq2 5871	. . . . . 6
14		r10 8207	. . . . . 6
15	13, 14	syl6eq 2514	. . . . 5
16	12, 15	nsyl 121	. . . 4
17		suceloni 6648	. . . . . . . 8
18	8, 17	syl 16	. . . . . . 7
19		sucidg 4961	. . . . . . . 8
20	8, 19	syl 16	. . . . . . 7
21		r1ord 8219	. . . . . . 7
22	18, 20, 21	sylc 60	. . . . . 6
23		r1elwf 8235	. . . . . 6
24		wfelirr 8264	. . . . . 6
25	22, 23, 24	3syl 20	. . . . 5
26		simprr 757	. . . . . . . . 9
27	26	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
28		r1suc 8209	. . . . . . . . 9
29	28	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
30	27, 29	eqtrd 2498	. . . . . . 7
31		simplr 755	. . . . . . . 8
32	8	adantr 465	. . . . . . . . 9
33		sucidg 4961	. . . . . . . . . . 11
34	33	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
35	34, 26	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . 9
36		r1ord 8219	. . . . . . . . 9
37	32, 35, 36	sylc 60	. . . . . . . 8
38	31, 37	wunpw 9106	. . . . . . 7
39	30, 38	eqeltrd 2545	. . . . . 6
40	39	rexlimdvaa 2950	. . . . 5
41	25, 40	mtod 177	. . . 4
42		ioran 490	. . . 4
43	16, 41, 42	sylanbrc 664	. . 3
44		dflim3 6682	. . 3
45	10, 43, 44	sylanbrc 664	. 2
46		r1limwun 9135	. 2
47	45, 46	impbida 832	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593  cr1 8201  cwun 9099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204  df-wun 9101