Theorem ralrnmpt 6040

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralrnmpt.1
ralrnmpt.2

Assertion

Ref	Expression
ralrnmpt

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ralrnmpt

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralrnmpt.1	. . . . 5
2	1	fnmpt 5712	. . . 4
3		dfsbcq 3329	. . . . 5
4	3	ralrn 6034	. . . 4
5	2, 4	syl 16	. . 3
6		nfv 1707	. . . . 5
7		nfsbc1v 3347	. . . . 5
8		sbceq1a 3338	. . . . 5
9	6, 7, 8	cbvral 3080	. . . 4
10	9	bicomi 202	. . 3
11		nfmpt1 4541	. . . . . . 7
12	1, 11	nfcxfr 2617	. . . . . 6
13		nfcv 2619	. . . . . 6
14	12, 13	nffv 5878	. . . . 5
15		nfv 1707	. . . . 5
16	14, 15	nfsbc 3349	. . . 4
17		nfv 1707	. . . 4
18		fveq2 5871	. . . . 5
19	18	sbceq1d 3332	. . . 4
20	16, 17, 19	cbvral 3080	. . 3
21	5, 10, 20	3bitr3g 287	. 2
22	1	fvmpt2 5963	. . . . . 6
23	22	sbceq1d 3332	. . . . 5
24		ralrnmpt.2	. . . . . . 7
25	24	sbcieg 3360	. . . . . 6
26	25	adantl 466	. . . . 5
27	23, 26	bitrd 253	. . . 4
28	27	ralimiaa 2849	. . 3
29		ralbi 2988	. . 3
30	28, 29	syl 16	. 2
31	21, 30	bitrd 253	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [.wsbc 3327  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  rexrnmpt  6041  ac6num  8880  gsumwspan  16014  dfod2  16586  ordtbaslem  19689  ordtrest2lem  19704  cncmp  19892  comppfsc  20033  ptpjopn  20113  ordthmeolem  20302  tsmsfbas  20626  tsmsf1o  20647  prdsxmetlem  20871  prdsbl  20994  metdsf  21352  metdsge  21353  minveclem1  21839  minveclem3b  21843  minveclem6  21849  mbflimsup  22073  xrlimcnp  23298  minvecolem1  25790  minvecolem5  25797  minvecolem6  25798  ordtrest2NEWlem  27904  cvmsss2  28719  fin2so  30040  prdsbnd  30289  rrnequiv  30331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601