MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankcf Unicode version

Theorem rankcf 9176
Description: Any set must be at least as large as the cofinality of its rank, because the ranks of the elements of form a cofinal map into . (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankcf

Proof of Theorem rankcf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankon 8234 . . 3
2 onzsl 6681 . . 3
31, 2mpbi 208 . 2
4 sdom0 7669 . . . 4
5 fveq2 5871 . . . . . 6
6 cf0 8652 . . . . . 6
75, 6syl6eq 2514 . . . . 5
87breq2d 4464 . . . 4
94, 8mtbiri 303 . . 3
10 fveq2 5871 . . . . . . 7
11 cfsuc 8658 . . . . . . 7
1210, 11sylan9eqr 2520 . . . . . 6
13 nsuceq0 4963 . . . . . . . . 9
14 neeq1 2738 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 233 . . . . . . . 8
16 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
17 0elon 4936 . . . . . . . . . . . . 13
18 r1fnon 8206 . . . . . . . . . . . . . 14
19 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
2117, 20eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . . 12
22 rankonid 8268 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22mpbi 208 . . . . . . . . . . 11
2416, 23syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
2524necon3i 2697 . . . . . . . . 9
26 rankvaln 8238 . . . . . . . . . . 11
2726necon1ai 2688 . . . . . . . . . 10
28 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
29 neeq1 2738 . . . . . . . . . . 11
30 0sdom1dom 7737 . . . . . . . . . . . 12
31 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
32310sdom 7668 . . . . . . . . . . . 12
3330, 32bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11
3428, 29, 33vtoclbg 3168 . . . . . . . . . 10
3527, 34syl 16 . . . . . . . . 9
3625, 35mpbird 232 . . . . . . . 8
3715, 36syl 16 . . . . . . 7
3837adantl 466 . . . . . 6
3912, 38eqbrtrd 4472 . . . . 5
4039rexlimiva 2945 . . . 4
41 domnsym 7663 . . . 4
4240, 41syl 16 . . 3
43 nlim0 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 limeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4543, 44mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4626, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746con4i 130 . . . . . . . . . . . . . 14
48 r1elssi 8244 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5049sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
51 ranksnb 8266 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11
53 rankelb 8263 . . . . . . . . . . . . . 14
5447, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
55 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12
5756imp 429 . . . . . . . . . . 11
5852, 57eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
59 eleq1a 2540 . . . . . . . . . 10
6058, 59syl 16 . . . . . . . . 9
6160rexlimdva 2949 . . . . . . . 8
6261abssdv 3573 . . . . . . 7
63 snex 4693 . . . . . . . . . . . . 13
6463dfiun2 4364 . . . . . . . . . . . 12
65 iunid 4385 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . 11
6766fveq2i 5874 . . . . . . . . . 10
6848sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 snwf 8248 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15
7168, 69, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
7271rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . 13
7372abssdv 3573 . . . . . . . . . . . 12
74 abrexexg 6775 . . . . . . . . . . . . 13
75 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
76 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . 14
77 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877r1elss 8245 . . . . . . . . . . . . . 14
7975, 76, 78vtoclbg 3168 . . . . . . . . . . . . 13
8074, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8173, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
82 rankuni2b 8292 . . . . . . . . . . 11
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . 10
8467, 83syl5eqr 2512 . . . . . . . . 9
85 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
8685dfiun2 4364 . . . . . . . . . 10
87 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
8863, 87abrexco 6156 . . . . . . . . . . 11
8988unieqi 4258 . . . . . . . . . 10
9086, 89eqtri 2486 . . . . . . . . 9
9184, 90syl6req 2515 . . . . . . . 8
9247, 91syl 16 . . . . . . 7
93 fvex 5881 . . . . . . . 8
9493cfslb 8667 . . . . . . 7
9562, 92, 94mpd3an23 1326 . . . . . 6
96 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
9796fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
98 breq12 4457 . . . . . . . . . 10
9997, 98mpdan 668 . . . . . . . . 9
100 rexeq 3055 . . . . . . . . . . 11
101100abbidv 2593 . . . . . . . . . 10
102 breq12 4457 . . . . . . . . . 10
103101, 102mpancom 669 . . . . . . . . 9
10499, 103imbi12d 320 . . . . . . . 8
105 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
106105rnmpt 5253 . . . . . . . . 9
107 cfon 8656 . . . . . . . . . . 11
108 sdomdom 7563 . . . . . . . . . . 11
109 ondomen 8439 . . . . . . . . . . 11
110107, 108, 109sylancr 663 . . . . . . . . . 10
111 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
112111, 105fnmpti 5714 . . . . . . . . . . 11
113 dffn4 5806 . . . . . . . . . . 11
114112, 113mpbi 208 . . . . . . . . . 10
115 fodomnum 8459 . . . . . . . . . 10
116110, 114, 115mpisyl 18 . . . . . . . . 9
117106, 116syl5eqbrr 4486 . . . . . . . 8
118104, 117vtoclg 3167 . . . . . . 7
11947, 118syl 16 . . . . . 6
120 domtr 7588 . . . . . . 7
121120, 41syl 16 . . . . . 6
12295, 119, 121syl6an 545 . . . . 5
123122pm2.01d 169 . . . 4
124123adantl 466 . . 3
1259, 42, 1243jaoi 1291 . 2
1263, 125ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   c1o 7142   cdom 7534   csdm 7535   cr1 8201   crnk 8202   ccrd 8337   ccf 8339
This theorem is referenced by:  inatsk  9177  grur1  9219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator