Theorem rankelun 8311

Description: Rank membership is inherited by union. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankelun.1
rankelun.2
rankelun.3
rankelun.4

Assertion

Ref	Expression
rankelun

Proof of Theorem rankelun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 8234	. . . . . 6
2		rankon 8234	. . . . . 6
3	1, 2	onun2i 4998	. . . . 5
4	3	onordi 4987	. . . 4
5	4	a1i 11	. . 3
6		elun1 3670	. . . 4
7	6	adantr 465	. . 3
8		elun2 3671	. . . 4
9	8	adantl 466	. . 3
10		ordunel 6662	. . 3
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1228	. 2
12		rankelun.1	. . 3
13		rankelun.2	. . 3
14	12, 13	rankun 8295	. 2
15		rankelun.3	. . 3
16		rankelun.4	. . 3
17	15, 16	rankun 8295	. 2
18	11, 14, 17	3eltr4g 2563	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  cvv 3109  u.cun 3473  Ordword 4882  `cfv 5593  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankelpr  8312  rankxplim  8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204