MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankf Unicode version

Theorem rankf 8233
Description: The domain and range of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankf

Proof of Theorem rankf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rank 8204 . . . 4
21funmpt2 5630 . . 3
3 mptv 4544 . . . . . 6
41, 3eqtri 2486 . . . . 5
54dmeqi 5209 . . . 4
6 dmopab 5218 . . . . 5
7 abeq1 2582 . . . . . 6
8 rankwflemb 8232 . . . . . . 7
9 intexrab 4611 . . . . . . 7
10 isset 3113 . . . . . . 7
118, 9, 103bitrri 272 . . . . . 6
127, 11mpgbir 1622 . . . . 5
136, 12eqtri 2486 . . . 4
145, 13eqtri 2486 . . 3
15 df-fn 5596 . . 3
162, 14, 15mpbir2an 920 . 2
17 rabn0 3805 . . . . 5
188, 17bitr4i 252 . . . 4
19 intex 4608 . . . . . 6
20 vex 3112 . . . . . . 7
211fvmpt2 5963 . . . . . . 7
2220, 21mpan 670 . . . . . 6
2319, 22sylbi 195 . . . . 5
24 ssrab2 3584 . . . . . 6
25 oninton 6635 . . . . . 6
2624, 25mpan 670 . . . . 5
2723, 26eqeltrd 2545 . . . 4
2818, 27sylbi 195 . . 3
2928rgen 2817 . 2
30 ffnfv 6057 . 2
3116, 29, 30mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  |^|cint 4286  {copab 4509  e.cmpt 4510   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankon  8234  rankvaln  8238  tcrank  8323  hsmexlem4  8830  hsmexlem5  8831  grur1  9219  aomclem4  31003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator