Theorem ranklim 8283

Description: The rank of a set belongs to a limit ordinal iff the rank of its power set does. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ranklim

Proof of Theorem ranklim

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuc 6684	. . . 4
2	1	adantl 466	. . 3
3		pweq 4015	. . . . . . . 8
4	3	fveq2d 5875	. . . . . . 7
5		fveq2 5871	. . . . . . . 8
6		suceq 4948	. . . . . . . 8
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7
8	4, 7	eqeq12d 2479	. . . . . 6
9		vex 3112	. . . . . . 7
10	9	rankpw 8282	. . . . . 6
11	8, 10	vtoclg 3167	. . . . 5
12	11	eleq1d 2526	. . . 4
13	12	adantr 465	. . 3
14	2, 13	bitr4d 256	. 2
15		fvprc 5865	. . . . 5
16		pwexb 6611	. . . . . 6
17		fvprc 5865	. . . . . 6
18	16, 17	sylnbi 306	. . . . 5
19	15, 18	eqtr4d 2501	. . . 4
20	19	eleq1d 2526	. . 3
21	20	adantr 465	. 2
22	14, 21	pm2.61ian 790	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  c0 3784  ~Pcpw 4012  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankxplim  8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204