Theorem rankmapu 8317

Description: An upper bound on the rank of set exponentiation. (Contributed by Gérard Lang, 5-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1
rankxpl.2

Assertion

Ref	Expression
rankmapu

Proof of Theorem rankmapu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsspw 7474	. . 3
2		rankxpl.2	. . . . . 6
3		rankxpl.1	. . . . . 6
4	2, 3	xpex 6604	. . . . 5
5	4	pwex 4635	. . . 4
6	5	rankss 8288	. . 3
7	1, 6	ax-mp 5	. 2
8	4	rankpw 8282	. . 3
9	2, 3	rankxpu 8315	. . . . 5
10		uncom 3647	. . . . . . . 8
11	10	fveq2i 5874	. . . . . . 7
12		suceq 4948	. . . . . . 7
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6
14		suceq 4948	. . . . . 6
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5
16	9, 15	sseqtri 3535	. . . 4
17		rankon 8234	. . . . . 6
18	17	onordi 4987	. . . . 5
19		rankon 8234	. . . . . . . 8
20	19	onsuci 6673	. . . . . . 7
21	20	onsuci 6673	. . . . . 6
22	21	onordi 4987	. . . . 5
23		ordsucsssuc 6658	. . . . 5
24	18, 22, 23	mp2an 672	. . . 4
25	16, 24	mpbi 208	. . 3
26	8, 25	eqsstri 3533	. 2
27	7, 26	sstri 3512	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  Ordword 4882  succsuc 4885  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cmap 7439  crnk 8202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-map 7441  df-pm 7442  df-r1 8203  df-rank 8204