Theorem rankonidlem 8267

Description: Lemma for rankonid 8268. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankonidlem

Proof of Theorem rankonidlem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 8205	. . . . 5
2	1	simpri 462	. . . 4
3		limord 4942	. . . 4
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3
5		ordelon 4907	. . 3
6	4, 5	mpan 670	. 2
7		eleq1 2529	. . . 4
8		eleq1 2529	. . . . 5
9		fveq2 5871	. . . . . 6
10		id 22	. . . . . 6
11	9, 10	eqeq12d 2479	. . . . 5
12	8, 11	anbi12d 710	. . . 4
13	7, 12	imbi12d 320	. . 3
14		eleq1 2529	. . . 4
15		eleq1 2529	. . . . 5
16		fveq2 5871	. . . . . 6
17		id 22	. . . . . 6
18	16, 17	eqeq12d 2479	. . . . 5
19	15, 18	anbi12d 710	. . . 4
20	14, 19	imbi12d 320	. . 3
21		ordtr1 4926	. . . . . . . . . 10
22	4, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
23	22	ancoms 453	. . . . . . . 8
24		pm5.5 336	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl 16	. . . . . . 7
26	25	ralbidva 2893	. . . . . 6
27		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28		ordelon 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	4, 28	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33		ordelsuc 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	27, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35	27, 34	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37		limsuc 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38	2, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	36, 38	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41		r1ord3g 8218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	39, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	35, 42	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44		rankidb 8239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45	44	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46		suceq 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47	46	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	45, 48	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	43, 49	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
54		dfss3 3493	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
56		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
57	56	elpw 4018	. . . . . . . . . . 11
58	55, 57	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
59		r1sucg 8208	. . . . . . . . . . 11
60	59	adantr 465	. . . . . . . . . 10
61	58, 60	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . 9
62		r1elwf 8235	. . . . . . . . 9
63	61, 62	syl 16	. . . . . . . 8
64		rankval3b 8265	. . . . . . . . . 10
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . 9
66		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	66	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	67	ralimi 2850	. . . . . . . . . . . . . 14
69		ralbi 2988	. . . . . . . . . . . . . 14
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
71		dfss3 3493	. . . . . . . . . . . . 13
72	70, 71	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12
73	72	rabbidv 3101	. . . . . . . . . . 11
74	73	inteqd 4291	. . . . . . . . . 10
75	74	adantl 466	. . . . . . . . 9
76	29	adantr 465	. . . . . . . . . 10
77		intmin 4306	. . . . . . . . . 10
78	76, 77	syl 16	. . . . . . . . 9
79	65, 75, 78	3eqtrd 2502	. . . . . . . 8
80	63, 79	jca 532	. . . . . . 7
81	80	ex 434	. . . . . 6
82	26, 81	sylbid 215	. . . . 5
83	82	com12 31	. . . 4
84	83	a1i 11	. . 3
85	13, 20, 84	tfis3 6692	. 2
86	6, 85	mpcom 36	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankonid  8268  onwf  8269  onssr1  8270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204