Theorem rankr1ai 8237

Description: One direction of rankr1a 8275. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1ai

Proof of Theorem rankr1ai

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 5897	. . 3
2		r1val1 8225	. . . . . 6
3	2	eleq2d 2527	. . . . 5
4		eliun 4335	. . . . 5
5	3, 4	syl6bb 261	. . . 4
6		r1funlim 8205	. . . . . . . . . . 11
7	6	simpri 462	. . . . . . . . . 10
8		limord 4942	. . . . . . . . . 10
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
10		ordtr1 4926	. . . . . . . . 9
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8
12	11	ancoms 453	. . . . . . 7
13		r1sucg 8208	. . . . . . . 8
14	13	eleq2d 2527	. . . . . . 7
15	12, 14	syl 16	. . . . . 6
16		ordsson 6625	. . . . . . . . . 10
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
18	17, 12	sseldi 3501	. . . . . . . 8
19		rabid 3034	. . . . . . . . 9
20		intss1 4301	. . . . . . . . 9
21	19, 20	sylbir 213	. . . . . . . 8
22	18, 21	sylan 471	. . . . . . 7
23	22	ex 434	. . . . . 6
24	15, 23	sylbird 235	. . . . 5
25	24	reximdva 2932	. . . 4
26	5, 25	sylbid 215	. . 3
27	1, 26	mpcom 36	. 2
28		r1elwf 8235	. . . . . . 7
29		rankvalb 8236	. . . . . . 7
30	28, 29	syl 16	. . . . . 6
31	30	sseq1d 3530	. . . . 5
32	31	adantr 465	. . . 4
33		rankon 8234	. . . . . . 7
34	17, 1	sseldi 3501	. . . . . . 7
35		ontr2 4930	. . . . . . 7
36	33, 34, 35	sylancr 663	. . . . . 6
37	36	expcomd 438	. . . . 5
38	37	imp 429	. . . 4
39	32, 38	sylbird 235	. . 3
40	39	rexlimdva 2949	. 2
41	27, 40	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankr1ag  8241  tcrank  8323  dfac12lem1  8544  dfac12lem2  8545  r1limwun  9135  inatsk  9177  aomclem4  31003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204