MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1ai Unicode version

Theorem rankr1ai 8237
Description: One direction of rankr1a 8275. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1ai

Proof of Theorem rankr1ai
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5897 . . 3
2 r1val1 8225 . . . . . 6
32eleq2d 2527 . . . . 5
4 eliun 4335 . . . . 5
53, 4syl6bb 261 . . . 4
6 r1funlim 8205 . . . . . . . . . . 11
76simpri 462 . . . . . . . . . 10
8 limord 4942 . . . . . . . . . 10
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9
10 ordtr1 4926 . . . . . . . . 9
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8
1211ancoms 453 . . . . . . 7
13 r1sucg 8208 . . . . . . . 8
1413eleq2d 2527 . . . . . . 7
1512, 14syl 16 . . . . . 6
16 ordsson 6625 . . . . . . . . . 10
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1817, 12sseldi 3501 . . . . . . . 8
19 rabid 3034 . . . . . . . . 9
20 intss1 4301 . . . . . . . . 9
2119, 20sylbir 213 . . . . . . . 8
2218, 21sylan 471 . . . . . . 7
2322ex 434 . . . . . 6
2415, 23sylbird 235 . . . . 5
2524reximdva 2932 . . . 4
265, 25sylbid 215 . . 3
271, 26mpcom 36 . 2
28 r1elwf 8235 . . . . . . 7
29 rankvalb 8236 . . . . . . 7
3028, 29syl 16 . . . . . 6
3130sseq1d 3530 . . . . 5
3231adantr 465 . . . 4
33 rankon 8234 . . . . . . 7
3417, 1sseldi 3501 . . . . . . 7
35 ontr2 4930 . . . . . . 7
3633, 34, 35sylancr 663 . . . . . 6
3736expcomd 438 . . . . 5
3837imp 429 . . . 4
3932, 38sylbird 235 . . 3
4039rexlimdva 2949 . 2
4127, 40mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankr1ag  8241  tcrank  8323  dfac12lem1  8544  dfac12lem2  8545  r1limwun  9135  inatsk  9177  aomclem4  31003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator