MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1c Unicode version

Theorem rankr1c 8260
Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function . Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1c

Proof of Theorem rankr1c
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4
2 rankdmr1 8240 . . . 4
31, 2syl6eqel 2553 . . 3
43a1i 11 . 2
5 elfvdm 5897 . . . . 5
6 r1funlim 8205 . . . . . . 7
76simpri 462 . . . . . 6
8 limsuc 6684 . . . . . 6
97, 8ax-mp 5 . . . . 5
105, 9sylibr 212 . . . 4
1110adantl 466 . . 3
1211a1i 11 . 2
13 rankr1clem 8259 . . . . 5
14 rankr1ag 8241 . . . . . . 7
159, 14sylan2b 475 . . . . . 6
16 rankon 8234 . . . . . . 7
17 limord 4942 . . . . . . . . . 10
187, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9
19 ordelon 4907 . . . . . . . . 9
2018, 19mpan 670 . . . . . . . 8
2120adantl 466 . . . . . . 7
22 onsssuc 4970 . . . . . . 7
2316, 21, 22sylancr 663 . . . . . 6
2415, 23bitr4d 256 . . . . 5
2513, 24anbi12d 710 . . . 4
26 eqss 3518 . . . 4
2725, 26syl6rbbr 264 . . 3
2827ex 434 . 2
294, 12, 28pm5.21ndd 354 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankidn  8261  rankpwi  8262  rankr1g  8271  r1tskina  9181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator