Theorem rankr1c 8260

Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function . Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1c

Proof of Theorem rankr1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4
2		rankdmr1 8240	. . . 4
3	1, 2	syl6eqel 2553	. . 3
4	3	a1i 11	. 2
5		elfvdm 5897	. . . . 5
6		r1funlim 8205	. . . . . . 7
7	6	simpri 462	. . . . . 6
8		limsuc 6684	. . . . . 6
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5
10	5, 9	sylibr 212	. . . 4
11	10	adantl 466	. . 3
12	11	a1i 11	. 2
13		rankr1clem 8259	. . . . 5
14		rankr1ag 8241	. . . . . . 7
15	9, 14	sylan2b 475	. . . . . 6
16		rankon 8234	. . . . . . 7
17		limord 4942	. . . . . . . . . 10
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
19		ordelon 4907	. . . . . . . . 9
20	18, 19	mpan 670	. . . . . . . 8
21	20	adantl 466	. . . . . . 7
22		onsssuc 4970	. . . . . . 7
23	16, 21, 22	sylancr 663	. . . . . 6
24	15, 23	bitr4d 256	. . . . 5
25	13, 24	anbi12d 710	. . . 4
26		eqss 3518	. . . 4
27	25, 26	syl6rbbr 264	. . 3
28	27	ex 434	. 2
29	4, 12, 28	pm5.21ndd 354	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  U.cuni 4249  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankidn  8261  rankpwi  8262  rankr1g  8271  r1tskina  9181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204