Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankunb Unicode version

Theorem rankunb 8289
 Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb

Proof of Theorem rankunb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 8249 . . . . . . 7
2 rankval3b 8265 . . . . . . 7
31, 2sylbi 195 . . . . . 6
43eleq2d 2527 . . . . 5
5 vex 3112 . . . . . 6
65elintrab 4298 . . . . 5
74, 6syl6bb 261 . . . 4
8 elun 3644 . . . . . . 7
9 rankelb 8263 . . . . . . . . 9
10 elun1 3670 . . . . . . . . 9
119, 10syl6 33 . . . . . . . 8
12 rankelb 8263 . . . . . . . . 9
13 elun2 3671 . . . . . . . . 9
1412, 13syl6 33 . . . . . . . 8
1511, 14jaao 509 . . . . . . 7
168, 15syl5bi 217 . . . . . 6
1716ralrimiv 2869 . . . . 5
18 rankon 8234 . . . . . . 7
19 rankon 8234 . . . . . . 7
2018, 19onun2i 4998 . . . . . 6
21 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
2221ralbidv 2896 . . . . . . . 8
23 eleq2 2530 . . . . . . . 8
2422, 23imbi12d 320 . . . . . . 7
2524rspcv 3206 . . . . . 6
2620, 25ax-mp 5 . . . . 5
2717, 26syl5com 30 . . . 4
287, 27sylbid 215 . . 3
2928ssrdv 3509 . 2
30 ssun1 3666 . . . . 5
31 rankssb 8287 . . . . 5
3230, 31mpi 17 . . . 4
33 ssun2 3667 . . . . 5
34 rankssb 8287 . . . . 5
3533, 34mpi 17 . . . 4
3632, 35unssd 3679 . . 3
371, 36sylbi 195 . 2
3829, 37eqssd 3520 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  u.cun 3473  C_wss 3475  U.cuni 4249  |^|cint 4286   con0 4883  "cima 5007  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202 This theorem is referenced by:  rankprb  8290  rankopb  8291  rankun  8295  rankaltopb  29629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator