Theorem rankunb 8289

Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankunb

Proof of Theorem rankunb

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unwf 8249	. . . . . . 7
2		rankval3b 8265	. . . . . . 7
3	1, 2	sylbi 195	. . . . . 6
4	3	eleq2d 2527	. . . . 5
5		vex 3112	. . . . . 6
6	5	elintrab 4298	. . . . 5
7	4, 6	syl6bb 261	. . . 4
8		elun 3644	. . . . . . 7
9		rankelb 8263	. . . . . . . . 9
10		elun1 3670	. . . . . . . . 9
11	9, 10	syl6 33	. . . . . . . 8
12		rankelb 8263	. . . . . . . . 9
13		elun2 3671	. . . . . . . . 9
14	12, 13	syl6 33	. . . . . . . 8
15	11, 14	jaao 509	. . . . . . 7
16	8, 15	syl5bi 217	. . . . . 6
17	16	ralrimiv 2869	. . . . 5
18		rankon 8234	. . . . . . 7
19		rankon 8234	. . . . . . 7
20	18, 19	onun2i 4998	. . . . . 6
21		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
22	21	ralbidv 2896	. . . . . . . 8
23		eleq2 2530	. . . . . . . 8
24	22, 23	imbi12d 320	. . . . . . 7
25	24	rspcv 3206	. . . . . 6
26	20, 25	ax-mp 5	. . . . 5
27	17, 26	syl5com 30	. . . 4
28	7, 27	sylbid 215	. . 3
29	28	ssrdv 3509	. 2
30		ssun1 3666	. . . . 5
31		rankssb 8287	. . . . 5
32	30, 31	mpi 17	. . . 4
33		ssun2 3667	. . . . 5
34		rankssb 8287	. . . . 5
35	33, 34	mpi 17	. . . 4
36	32, 35	unssd 3679	. . 3
37	1, 36	sylbi 195	. 2
38	29, 37	eqssd 3520	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  u.cun 3473  C_wss 3475  U.cuni 4249  |^|cint 4286  con0 4883  "cima 5007  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankprb  8290  rankopb  8291  rankun  8295  rankaltopb  29629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204