MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankuni Unicode version

Theorem rankuni 8302
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni

Proof of Theorem rankuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4257 . . . . 5
21fveq2d 5875 . . . 4
3 fveq2 5871 . . . . 5
43unieqd 4259 . . . 4
52, 4eqeq12d 2479 . . 3
6 vex 3112 . . . . . . 7
76rankuni2 8294 . . . . . 6
8 fvex 5881 . . . . . . 7
98dfiun2 4364 . . . . . 6
107, 9eqtri 2486 . . . . 5
11 df-rex 2813 . . . . . . . 8
126rankel 8278 . . . . . . . . . . 11
1312anim1i 568 . . . . . . . . . 10
1413eximi 1656 . . . . . . . . 9
15 19.42v 1775 . . . . . . . . . 10
16 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
1716pm5.32ri 638 . . . . . . . . . . 11
1817exbii 1667 . . . . . . . . . 10
19 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
20 rankon 8234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120oneli 4990 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 r1fnon 8206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2521, 24syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 rankr1id 8301 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
2827eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13
29 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
30 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31spcev 3201 . . . . . . . . . . . . 13
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3433ancli 551 . . . . . . . . . . 11
3519, 34impbii 188 . . . . . . . . . 10
3615, 18, 353bitr3i 275 . . . . . . . . 9
3714, 36sylib 196 . . . . . . . 8
3811, 37sylbi 195 . . . . . . 7
3938abssi 3574 . . . . . 6
4039unissi 4272 . . . . 5
4110, 40eqsstri 3533 . . . 4
42 pwuni 4683 . . . . . . . 8
436uniex 6596 . . . . . . . . . 10
4443pwex 4635 . . . . . . . . 9
4544rankss 8288 . . . . . . . 8
4642, 45ax-mp 5 . . . . . . 7
4743rankpw 8282 . . . . . . 7
4846, 47sseqtri 3535 . . . . . 6
4948unissi 4272 . . . . 5
50 rankon 8234 . . . . . 6
5150onunisuci 4996 . . . . 5
5249, 51sseqtri 3535 . . . 4
5341, 52eqssi 3519 . . 3
545, 53vtoclg 3167 . 2
55 uniexb 6610 . . . . 5
56 fvprc 5865 . . . . 5
5755, 56sylnbi 306 . . . 4
58 uni0 4276 . . . 4
5957, 58syl6eqr 2516 . . 3
60 fvprc 5865 . . . 4
6160unieqd 4259 . . 3
6259, 61eqtr4d 2501 . 2
6354, 62pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  U_ciun 4330   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankuniss  8305  rankbnd2  8308  rankxplim2  8319  rankxplim3  8320  rankxpsuc  8321  r1limwun  9135  hfuni  29841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator