MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankuni2b Unicode version

Theorem rankuni2b 8292
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankuni2b
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankuni2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniwf 8258 . . . 4
2 rankval3b 8265 . . . 4
31, 2sylbi 195 . . 3
4 iuneq1 4344 . . . . . . 7
54eleq1d 2526 . . . . . 6
6 vex 3112 . . . . . . 7
7 rankon 8234 . . . . . . . 8
87rgenw 2818 . . . . . . 7
9 iunon 7028 . . . . . . 7
106, 8, 9mp2an 672 . . . . . 6
115, 10vtoclg 3167 . . . . 5
12 eluni2 4253 . . . . . . 7
13 nfv 1707 . . . . . . . 8
14 nfiu1 4360 . . . . . . . . 9
1514nfel2 2637 . . . . . . . 8
16 r1elssi 8244 . . . . . . . . . . 11
1716sseld 3502 . . . . . . . . . 10
18 rankelb 8263 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6 33 . . . . . . . . 9
20 ssiun2 4373 . . . . . . . . . . 11
2120sseld 3502 . . . . . . . . . 10
2221a1i 11 . . . . . . . . 9
2319, 22syldd 66 . . . . . . . 8
2413, 15, 23rexlimd 2941 . . . . . . 7
2512, 24syl5bi 217 . . . . . 6
2625ralrimiv 2869 . . . . 5
27 eleq2 2530 . . . . . . 7
2827ralbidv 2896 . . . . . 6
2928elrab 3257 . . . . 5
3011, 26, 29sylanbrc 664 . . . 4
31 intss1 4301 . . . 4
3230, 31syl 16 . . 3
333, 32eqsstrd 3537 . 2
341biimpi 194 . . . . 5
35 elssuni 4279 . . . . 5
36 rankssb 8287 . . . . 5
3734, 35, 36syl2im 38 . . . 4
3837ralrimiv 2869 . . 3
39 iunss 4371 . . 3
4038, 39sylibr 212 . 2
4133, 40eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330   con0 4883  "cima 5007  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankuni2  8294  rankcf  9176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator