MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval3b Unicode version

Theorem rankval3b 8265
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 8234 . . . . . . . . . 10
2 simprl 756 . . . . . . . . . 10
3 ontri1 4917 . . . . . . . . . 10
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . 9
54con2bid 329 . . . . . . . 8
6 r1elssi 8244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 rankdmr1 8240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 r1funlim 8205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1110simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 ordtr1 4926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159, 14mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 rankr1ag 8241 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . 14
2019biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13
2120an32s 804 . . . . . . . . . . . 12
22 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
24 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
2515adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
26 rankr1bg 8242 . . . . . . . . . . . 12
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
2823, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10
2928ex 434 . . . . . . . . 9
3029adantrl 715 . . . . . . . 8
315, 30sylbird 235 . . . . . . 7
3231pm2.18d 111 . . . . . 6
3332ex 434 . . . . 5
3433alrimiv 1719 . . . 4
35 ssintab 4303 . . . 4
3634, 35sylibr 212 . . 3
37 df-rab 2816 . . . 4
3837inteqi 4290 . . 3
3936, 38syl6sseqr 3550 . 2
40 rankelb 8263 . . . 4
4140ralrimiv 2869 . . 3
42 eleq2 2530 . . . . 5
4342ralbidv 2896 . . . 4
4443onintss 4933 . . 3
451, 41, 44mpsyl 63 . 2
4639, 45eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  ranksnb  8266  rankonidlem  8267  rankval3  8279  rankunb  8289  rankuni2b  8292  tcrank  8323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator