Theorem rankval4 8306

Description: The rank of a set is the supremum of the successors of the ranks of its members. Exercise 9.1 of [Jech] p. 72. Also a special case of Theorem 7V(b) of [Enderton] p. 204. (Contributed by NM, 12-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1

Assertion

Ref	Expression
rankval4

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankval4

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2619	. . . . . 6
2		nfcv 2619	. . . . . . 7
3		nfiu1 4360	. . . . . . 7
4	2, 3	nffv 5878	. . . . . 6
5	1, 4	dfss2f 3494	. . . . 5
6		vex 3112	. . . . . . 7
7	6	rankid 8272	. . . . . 6
8		ssiun2 4373	. . . . . . . 8
9		rankon 8234	. . . . . . . . . 10
10	9	onsuci 6673	. . . . . . . . 9
11		rankr1b.1	. . . . . . . . . 10
12	10	rgenw 2818	. . . . . . . . . 10
13		iunon 7028	. . . . . . . . . 10
14	11, 12, 13	mp2an 672	. . . . . . . . 9
15		r1ord3 8221	. . . . . . . . 9
16	10, 14, 15	mp2an 672	. . . . . . . 8
17	8, 16	syl 16	. . . . . . 7
18	17	sseld 3502	. . . . . 6
19	7, 18	mpi 17	. . . . 5
20	5, 19	mpgbir 1622	. . . 4
21		fvex 5881	. . . . 5
22	21	rankss 8288	. . . 4
23	20, 22	ax-mp 5	. . 3
24		r1ord3 8221	. . . . . . 7
25	14, 24	mpan 670	. . . . . 6
26	25	ss2rabi 3581	. . . . 5
27		intss 4307	. . . . 5
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4
29		rankval2 8257	. . . . 5
30	21, 29	ax-mp 5	. . . 4
31		intmin 4306	. . . . . 6
32	14, 31	ax-mp 5	. . . . 5
33	32	eqcomi 2470	. . . 4
34	28, 30, 33	3sstr4i 3542	. . 3
35	23, 34	sstri 3512	. 2
36		iunss 4371	. . 3
37	11	rankel 8278	. . . 4
38		rankon 8234	. . . . 5
39	9, 38	onsucssi 6676	. . . 4
40	37, 39	sylib 196	. . 3
41	36, 40	mprgbir 2821	. 2
42	35, 41	eqssi 3519	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  |^|cint 4286  U_ciun 4330  con0 4883  succsuc 4885  `cfv 5593  cr1 8201  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankbnd  8307  rankc1  8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204