Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval4 Unicode version

Theorem rankval4 8306
 Description: The rank of a set is the supremum of the successors of the ranks of its members. Exercise 9.1 of [Jech] p. 72. Also a special case of Theorem 7V(b) of [Enderton] p. 204. (Contributed by NM, 12-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1
Assertion
Ref Expression
rankval4
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankval4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2619 . . . . . 6
2 nfcv 2619 . . . . . . 7
3 nfiu1 4360 . . . . . . 7
42, 3nffv 5878 . . . . . 6
51, 4dfss2f 3494 . . . . 5
6 vex 3112 . . . . . . 7
76rankid 8272 . . . . . 6
8 ssiun2 4373 . . . . . . . 8
9 rankon 8234 . . . . . . . . . 10
109onsuci 6673 . . . . . . . . 9
11 rankr1b.1 . . . . . . . . . 10
1210rgenw 2818 . . . . . . . . . 10
13 iunon 7028 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13mp2an 672 . . . . . . . . 9
15 r1ord3 8221 . . . . . . . . 9
1610, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . 8
178, 16syl 16 . . . . . . 7
1817sseld 3502 . . . . . 6
197, 18mpi 17 . . . . 5
205, 19mpgbir 1622 . . . 4
21 fvex 5881 . . . . 5
2221rankss 8288 . . . 4
2320, 22ax-mp 5 . . 3
24 r1ord3 8221 . . . . . . 7
2514, 24mpan 670 . . . . . 6
2625ss2rabi 3581 . . . . 5
27 intss 4307 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
29 rankval2 8257 . . . . 5
3021, 29ax-mp 5 . . . 4
31 intmin 4306 . . . . . 6
3214, 31ax-mp 5 . . . . 5
3332eqcomi 2470 . . . 4
3428, 30, 333sstr4i 3542 . . 3
3523, 34sstri 3512 . 2
36 iunss 4371 . . 3
3711rankel 8278 . . . 4
38 rankon 8234 . . . . 5
399, 38onsucssi 6676 . . . 4
4037, 39sylib 196 . . 3
4136, 40mprgbir 2821 . 2
4235, 41eqssi 3519 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475  |^|cint 4286  U_ciun 4330   con0 4883  succsuc 4885  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202 This theorem is referenced by:  rankbnd  8307  rankc1  8309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator