MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankwflemb Unicode version

Theorem rankwflemb 8232
Description: Two ways of saying a set is well-founded. (Contributed by NM, 11-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankwflemb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankwflemb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 4252 . . 3
2 r1funlim 8205 . . . . . . . 8
32simpli 458 . . . . . . 7
4 fvelima 5925 . . . . . . 7
53, 4mpan 670 . . . . . 6
6 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
76biimprcd 225 . . . . . . . 8
8 r1tr 8215 . . . . . . . . . . . 12
9 trss 4554 . . . . . . . . . . . 12
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
11 elpwg 4020 . . . . . . . . . . 11
1210, 11mpbird 232 . . . . . . . . . 10
13 elfvdm 5897 . . . . . . . . . . 11
14 r1sucg 8208 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
1612, 15eleqtrrd 2548 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8
187, 17syl9 71 . . . . . . 7
1918reximdvai 2929 . . . . . 6
205, 19syl5 32 . . . . 5
2120imp 429 . . . 4
2221exlimiv 1722 . . 3
231, 22sylbi 195 . 2
24 elfvdm 5897 . . . . . 6
25 fvelrn 6024 . . . . . 6
263, 24, 25sylancr 663 . . . . 5
27 df-ima 5017 . . . . . 6
28 funrel 5610 . . . . . . . . 9
293, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8
302simpri 462 . . . . . . . . 9
31 limord 4942 . . . . . . . . 9
32 ordsson 6625 . . . . . . . . 9
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . 8
34 relssres 5316 . . . . . . . 8
3529, 33, 34mp2an 672 . . . . . . 7
3635rneqi 5234 . . . . . 6
3727, 36eqtri 2486 . . . . 5
3826, 37syl6eleqr 2556 . . . 4
39 elunii 4254 . . . 4
4038, 39mpdan 668 . . 3
4140rexlimivw 2946 . 2
4223, 41impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201
This theorem is referenced by:  rankf  8233  r1elwf  8235  rankvalb  8236  rankidb  8239  rankwflem  8254  tcrank  8323  dfac12r  8547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator