Theorem rankwflemb 8232

Description: Two ways of saying a set is well-founded. (Contributed by NM, 11-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankwflemb

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankwflemb

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 4252	. . 3
2		r1funlim 8205	. . . . . . . 8
3	2	simpli 458	. . . . . . 7
4		fvelima 5925	. . . . . . 7
5	3, 4	mpan 670	. . . . . 6
6		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
7	6	biimprcd 225	. . . . . . . 8
8		r1tr 8215	. . . . . . . . . . . 12
9		trss 4554	. . . . . . . . . . . 12
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
11		elpwg 4020	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	mpbird 232	. . . . . . . . . 10
13		elfvdm 5897	. . . . . . . . . . 11
14		r1sucg 8208	. . . . . . . . . . 11
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10
16	12, 15	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . 9
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8
18	7, 17	syl9 71	. . . . . . 7
19	18	reximdvai 2929	. . . . . 6
20	5, 19	syl5 32	. . . . 5
21	20	imp 429	. . . 4
22	21	exlimiv 1722	. . 3
23	1, 22	sylbi 195	. 2
24		elfvdm 5897	. . . . . 6
25		fvelrn 6024	. . . . . 6
26	3, 24, 25	sylancr 663	. . . . 5
27		df-ima 5017	. . . . . 6
28		funrel 5610	. . . . . . . . 9
29	3, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8
30	2	simpri 462	. . . . . . . . 9
31		limord 4942	. . . . . . . . 9
32		ordsson 6625	. . . . . . . . 9
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . . 8
34		relssres 5316	. . . . . . . 8
35	29, 33, 34	mp2an 672	. . . . . . 7
36	35	rneqi 5234	. . . . . 6
37	27, 36	eqtri 2486	. . . . 5
38	26, 37	syl6eleqr 2556	. . . 4
39		elunii 4254	. . . 4
40	38, 39	mpdan 668	. . 3
41	40	rexlimivw 2946	. 2
42	23, 41	impbii 188	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Trwtr 4545  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Funwfun 5587  `cfv 5593  cr1 8201

This theorem is referenced by:  rankf  8233  r1elwf  8235  rankvalb  8236  rankidb  8239  rankwflem  8254  tcrank  8323  dfac12r  8547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203