Theorem rankxplim 8318

Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 8321 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxplim.1
rankxplim.2

Assertion

Ref	Expression
rankxplim

Proof of Theorem rankxplim

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4683	. . . . . . . . . 10
2		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
3		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
4	2, 3	uniop 4755	. . . . . . . . . . 11
5	4	pweqi 4016	. . . . . . . . . 10
6	1, 5	sseqtri 3535	. . . . . . . . 9
7		pwuni 4683	. . . . . . . . . . 11
8	2, 3	unipr 4262	. . . . . . . . . . . 12
9	8	pweqi 4016	. . . . . . . . . . 11
10	7, 9	sseqtri 3535	. . . . . . . . . 10
11		sspwb 4701	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . . . . 9
13	6, 12	sstri 3512	. . . . . . . 8
14	2, 3	unex 6598	. . . . . . . . . . 11
15	14	pwex 4635	. . . . . . . . . 10
16	15	pwex 4635	. . . . . . . . 9
17	16	rankss 8288	. . . . . . . 8
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7
19		rankxplim.1	. . . . . . . . . . 11
20	19	rankel 8278	. . . . . . . . . 10
21		rankxplim.2	. . . . . . . . . . 11
22	21	rankel 8278	. . . . . . . . . 10
23	2, 3, 19, 21	rankelun 8311	. . . . . . . . . 10
24	20, 22, 23	syl2an 477	. . . . . . . . 9
25	24	adantl 466	. . . . . . . 8
26		ranklim 8283	. . . . . . . . . 10
27		ranklim 8283	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	bitrd 253	. . . . . . . . 9
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8
30	25, 29	mpbid 210	. . . . . . 7
31		rankon 8234	. . . . . . . 8
32		rankon 8234	. . . . . . . 8
33		ontr2 4930	. . . . . . . 8
34	31, 32, 33	mp2an 672	. . . . . . 7
35	18, 30, 34	sylancr 663	. . . . . 6
36	31, 32	onsucssi 6676	. . . . . 6
37	35, 36	sylib 196	. . . . 5
38	37	ralrimivva 2878	. . . 4
39		fveq2 5871	. . . . . . . 8
40		suceq 4948	. . . . . . . 8
41	39, 40	syl 16	. . . . . . 7
42	41	sseq1d 3530	. . . . . 6
43	42	ralxp 5149	. . . . 5
44	19, 21	xpex 6604	. . . . . 6
45	44	rankbnd 8307	. . . . 5
46	43, 45	bitr3i 251	. . . 4
47	38, 46	sylib 196	. . 3
48	47	adantr 465	. 2
49	19, 21	rankxpl 8314	. . 3
50	49	adantl 466	. 2
51	48, 50	eqssd 3520	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `cfv 5593  crnk 8202

This theorem is referenced by:  rankxplim3  8320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204