Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxplim Unicode version

Theorem rankxplim 8318
 Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 8321 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1
rankxplim.2
Assertion
Ref Expression
rankxplim

Proof of Theorem rankxplim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwuni 4683 . . . . . . . . . 10
2 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
3 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
42, 3uniop 4755 . . . . . . . . . . 11
54pweqi 4016 . . . . . . . . . 10
61, 5sseqtri 3535 . . . . . . . . 9
7 pwuni 4683 . . . . . . . . . . 11
82, 3unipr 4262 . . . . . . . . . . . 12
98pweqi 4016 . . . . . . . . . . 11
107, 9sseqtri 3535 . . . . . . . . . 10
11 sspwb 4701 . . . . . . . . . 10
1210, 11mpbi 208 . . . . . . . . 9
136, 12sstri 3512 . . . . . . . 8
142, 3unex 6598 . . . . . . . . . . 11
1514pwex 4635 . . . . . . . . . 10
1615pwex 4635 . . . . . . . . 9
1716rankss 8288 . . . . . . . 8
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11
2019rankel 8278 . . . . . . . . . 10
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11
2221rankel 8278 . . . . . . . . . 10
232, 3, 19, 21rankelun 8311 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9
2524adantl 466 . . . . . . . 8
26 ranklim 8283 . . . . . . . . . 10
27 ranklim 8283 . . . . . . . . . 10
2826, 27bitrd 253 . . . . . . . . 9
2928adantr 465 . . . . . . . 8
3025, 29mpbid 210 . . . . . . 7
31 rankon 8234 . . . . . . . 8
32 rankon 8234 . . . . . . . 8
33 ontr2 4930 . . . . . . . 8
3431, 32, 33mp2an 672 . . . . . . 7
3518, 30, 34sylancr 663 . . . . . 6
3631, 32onsucssi 6676 . . . . . 6
3735, 36sylib 196 . . . . 5
3837ralrimivva 2878 . . . 4
39 fveq2 5871 . . . . . . . 8
40 suceq 4948 . . . . . . . 8
4139, 40syl 16 . . . . . . 7
4241sseq1d 3530 . . . . . 6
4342ralxp 5149 . . . . 5
4419, 21xpex 6604 . . . . . 6
4544rankbnd 8307 . . . . 5
4643, 45bitr3i 251 . . . 4
4738, 46sylib 196 . . 3
4847adantr 465 . 2
4919, 21rankxpl 8314 . . 3
5049adantl 466 . 2
5148, 50eqssd 3520 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {cpr 4031  <.cop 4035  U.cuni 4249   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `cfv 5593   crnk 8202 This theorem is referenced by:  rankxplim3  8320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator