MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxplim2 Unicode version

Theorem rankxplim2 8319
Description: If the rank of a Cartesian product is a limit ordinal, so is the rank of the union of its arguments. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1
rankxplim.2
Assertion
Ref Expression
rankxplim2

Proof of Theorem rankxplim2
StepHypRef Expression
1 0ellim 4945 . . . 4
2 n0i 3789 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 df-ne 2654 . . . 4
5 rankxplim.1 . . . . . . 7
6 rankxplim.2 . . . . . . 7
75, 6xpex 6604 . . . . . 6
87rankeq0 8300 . . . . 5
98notbii 296 . . . 4
104, 9bitr2i 250 . . 3
113, 10sylib 196 . 2
12 limuni2 4944 . . . 4
13 limuni2 4944 . . . 4
1412, 13syl 16 . . 3
15 rankuni 8302 . . . . . 6
16 rankuni 8302 . . . . . . 7
1716unieqi 4258 . . . . . 6
1815, 17eqtr2i 2487 . . . . 5
19 unixp 5545 . . . . . 6
2019fveq2d 5875 . . . . 5
2118, 20syl5eq 2510 . . . 4
22 limeq 4895 . . . 4
2321, 22syl 16 . . 3
2414, 23syl5ib 219 . 2
2511, 24mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  U.cuni 4249  Limwlim 4884  X.cxp 5002  `cfv 5593   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankxpsuc  8321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator