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Theorem rankxplim3 8320
Description: The rank of a Cartesian product is a limit ordinal iff its union is. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1
rankxplim.2
Assertion
Ref Expression
rankxplim3

Proof of Theorem rankxplim3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limuni2 4944 . 2
2 0ellim 4945 . . . 4
3 n0i 3789 . . . 4
4 unieq 4257 . . . . . 6
5 uni0 4276 . . . . . 6
64, 5syl6eq 2514 . . . . 5
76con3i 135 . . . 4
82, 3, 73syl 20 . . 3
9 rankon 8234 . . . . . . . . . 10
109onsuci 6673 . . . . . . . . 9
1110onsuci 6673 . . . . . . . 8
1211elexi 3119 . . . . . . 7
1312sucid 4962 . . . . . 6
1411onsuci 6673 . . . . . . . 8
15 ontri1 4917 . . . . . . . 8
1614, 11, 15mp2an 672 . . . . . . 7
1716con2bii 332 . . . . . 6
1813, 17mpbi 208 . . . . 5
19 rankxplim.1 . . . . . . 7
20 rankxplim.2 . . . . . . 7
2119, 20rankxpu 8315 . . . . . 6
22 sstr 3511 . . . . . 6
2321, 22mpan2 671 . . . . 5
2418, 23mto 176 . . . 4
25 reeanv 3025 . . . . 5
26 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 rankuni 8302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29 rankuni 8302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3029unieqi 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3128, 30eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3319, 20xpex 6604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3433rankeq0 8300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3534notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3632, 35bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
378, 36sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38 unixp 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4039fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4131, 40syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 eqimss 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4527, 44eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 limuni 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4946, 48sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 rankon 8234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251onordi 4987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 orduni 6629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ordelsuc 6655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5650, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
5749, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
58 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6057, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
6126, 60eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
62 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . 13
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
65 ordsucelsuc 6657 . . . . . . . . . . . 12
6654, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
6764, 66sylib 196 . . . . . . . . . 10
68 onsucuni2 6669 . . . . . . . . . . . 12
6951, 68mpan 670 . . . . . . . . . . 11
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
7167, 70eleqtrd 2547 . . . . . . . . 9
7211, 51onsucssi 6676 . . . . . . . . 9
7371, 72sylib 196 . . . . . . . 8
7473ex 434 . . . . . . 7
7574a1d 25 . . . . . 6
7675rexlimdvv 2955 . . . . 5
7725, 76syl5bir 218 . . . 4
7824, 77mtoi 178 . . 3
79 ianor 488 . . . . . 6
80 un00 3862 . . . . . . . . . . . . . 14
81 olc 384 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
8380, 82sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13
84 xpeq0 5432 . . . . . . . . . . . . 13
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
8685con3i 135 . . . . . . . . . . 11
8735, 86sylbir 213 . . . . . . . . . 10
8819, 20unex 6598 . . . . . . . . . . . 12
8988rankeq0 8300 . . . . . . . . . . 11
9089notbii 296 . . . . . . . . . 10
9187, 90sylib 196 . . . . . . . . 9
929onordi 4987 . . . . . . . . . . 11
93 ordzsl 6680 . . . . . . . . . . 11
9492, 93mpbi 208 . . . . . . . . . 10
95943ori 1288 . . . . . . . . 9
9691, 95sylan 471 . . . . . . . 8
9796ex 434 . . . . . . 7
98 ordzsl 6680 . . . . . . . . . 10
9952, 98mpbi 208 . . . . . . . . 9
100993ori 1288 . . . . . . . 8
101100ex 434 . . . . . . 7
10297, 101orim12d 838 . . . . . 6
10379, 102syl5bi 217 . . . . 5
104103imp 429 . . . 4
105 simpl 457 . . . . . . . 8
10634necon3abii 2717 . . . . . . . . . 10
10719, 20rankxplim 8318 . . . . . . . . . 10
108106, 107sylan2br 476 . . . . . . . . 9
109 limeq 4895 . . . . . . . . 9
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8
111105, 110mpbird 232 . . . . . . 7
112111expcom 435 . . . . . 6
113 idd 24 . . . . . 6
114112, 113jaod 380 . . . . 5
115114adantr 465 . . . 4
116104, 115mpd 15 . . 3
1178, 78, 116syl2anc 661 . 2
1181, 117impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `cfv 5593   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankxpsuc  8321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
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