Theorem rankxpsuc 8321

Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a successor ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxplim 8318 for the limit ordinal case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxplim.1
rankxplim.2

Assertion

Ref	Expression
rankxpsuc

Proof of Theorem rankxpsuc

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 8302	. . . . . . . 8
2		rankuni 8302	. . . . . . . . 9
3	2	unieqi 4258	. . . . . . . 8
4	1, 3	eqtri 2486	. . . . . . 7
5		unixp 5545	. . . . . . . 8
6	5	fveq2d 5875	. . . . . . 7
7	4, 6	syl5reqr 2513	. . . . . 6
8		suc11reg 8057	. . . . . 6
9	7, 8	sylibr 212	. . . . 5
10	9	adantl 466	. . . 4
11		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . 14
12		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . 14
13	11, 12	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . 13
14		sucexb 6644	. . . . . . . . . . . . 13
15	13, 14	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12
16		nlimsucg 6677	. . . . . . . . . . . 12
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . 11
18		limeq 4895	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18	mtbird 301	. . . . . . . . . 10
20		rankxplim.1	. . . . . . . . . . 11
21		rankxplim.2	. . . . . . . . . . 11
22	20, 21	rankxplim2 8319	. . . . . . . . . 10
23	19, 22	nsyl 121	. . . . . . . . 9
24	20, 21	xpex 6604	. . . . . . . . . . . . . 14
25	24	rankeq0 8300	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	necon3abii 2717	. . . . . . . . . . . 12
27		rankon 8234	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	27	onordi 4987	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		ordzsl 6680	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	28, 29	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . 14
31		3orass 976	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	ori 375	. . . . . . . . . . . 12
34	26, 33	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11
35	34	ord 377	. . . . . . . . . 10
36	35	con1d 124	. . . . . . . . 9
37	23, 36	syl5com 30	. . . . . . . 8
38		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
39		nlimsucg 6677	. . . . . . . . . . . 12
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
41		limeq 4895	. . . . . . . . . . 11
42	40, 41	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10
43	42	rexlimivw 2946	. . . . . . . . 9
44	20, 21	rankxplim3 8320	. . . . . . . . 9
45	43, 44	sylnib 304	. . . . . . . 8
46	37, 45	syl6com 35	. . . . . . 7
47		unixp0 5546	. . . . . . . . . . . 12
48	24	uniex 6596	. . . . . . . . . . . . 13
49	48	rankeq0 8300	. . . . . . . . . . . 12
50	2	eqeq1i 2464	. . . . . . . . . . . 12
51	47, 49, 50	3bitri 271	. . . . . . . . . . 11
52	51	necon3abii 2717	. . . . . . . . . 10
53		onuni 6628	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	27, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	onordi 4987	. . . . . . . . . . . . 13
56		ordzsl 6680	. . . . . . . . . . . . 13
57	55, 56	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12
58		3orass 976	. . . . . . . . . . . 12
59	57, 58	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11
60	59	ori 375	. . . . . . . . . 10
61	52, 60	sylbi 195	. . . . . . . . 9
62	61	ord 377	. . . . . . . 8
63	62	con1d 124	. . . . . . 7
64	46, 63	syld 44	. . . . . 6
65	64	impcom 430	. . . . 5
66		onsucuni2 6669	. . . . . . 7
67	54, 66	mpan 670	. . . . . 6
68	67	rexlimivw 2946	. . . . 5
69	65, 68	syl 16	. . . 4
70	10, 69	eqtrd 2498	. . 3
71		suc11reg 8057	. . 3
72	70, 71	sylibr 212	. 2
73	37	imp 429	. . 3
74		onsucuni2 6669	. . . . 5
75	27, 74	mpan 670	. . . 4
76	75	rexlimivw 2946	. . 3
77	73, 76	syl 16	. 2
78	72, 77	eqtr2d 2499	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  cvv 3109  u.cun 3473  c0 3784  U.cuni 4249  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `cfv 5593  crnk 8202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204