MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpsuc Unicode version

Theorem rankxpsuc 8321
Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a successor ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxplim 8318 for the limit ordinal case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1
rankxplim.2
Assertion
Ref Expression
rankxpsuc

Proof of Theorem rankxpsuc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankuni 8302 . . . . . . . 8
2 rankuni 8302 . . . . . . . . 9
32unieqi 4258 . . . . . . . 8
41, 3eqtri 2486 . . . . . . 7
5 unixp 5545 . . . . . . . 8
65fveq2d 5875 . . . . . . 7
74, 6syl5reqr 2513 . . . . . 6
8 suc11reg 8057 . . . . . 6
97, 8sylibr 212 . . . . 5
109adantl 466 . . . 4
11 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
12 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12mpbii 211 . . . . . . . . . . . . 13
14 sucexb 6644 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
16 nlimsucg 6677 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11
18 limeq 4895 . . . . . . . . . . 11
1917, 18mtbird 301 . . . . . . . . . 10
20 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11
2220, 21rankxplim2 8319 . . . . . . . . . 10
2319, 22nsyl 121 . . . . . . . . 9
2420, 21xpex 6604 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rankeq0 8300 . . . . . . . . . . . . 13
2625necon3abii 2717 . . . . . . . . . . . 12
27 rankon 8234 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827onordi 4987 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 ordzsl 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15
3028, 29mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14
31 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13
3332ori 375 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
3534ord 377 . . . . . . . . . 10
3635con1d 124 . . . . . . . . 9
3723, 36syl5com 30 . . . . . . . 8
38 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
39 nlimsucg 6677 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
41 limeq 4895 . . . . . . . . . . 11
4240, 41mtbiri 303 . . . . . . . . . 10
4342rexlimivw 2946 . . . . . . . . 9
4420, 21rankxplim3 8320 . . . . . . . . 9
4543, 44sylnib 304 . . . . . . . 8
4637, 45syl6com 35 . . . . . . 7
47 unixp0 5546 . . . . . . . . . . . 12
4824uniex 6596 . . . . . . . . . . . . 13
4948rankeq0 8300 . . . . . . . . . . . 12
502eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . . 12
5147, 49, 503bitri 271 . . . . . . . . . . 11
5251necon3abii 2717 . . . . . . . . . 10
53 onuni 6628 . . . . . . . . . . . . . . 15
5427, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
5554onordi 4987 . . . . . . . . . . . . 13
56 ordzsl 6680 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12
58 3orass 976 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58mpbi 208 . . . . . . . . . . 11
6059ori 375 . . . . . . . . . 10
6152, 60sylbi 195 . . . . . . . . 9
6261ord 377 . . . . . . . 8
6362con1d 124 . . . . . . 7
6446, 63syld 44 . . . . . 6
6564impcom 430 . . . . 5
66 onsucuni2 6669 . . . . . . 7
6754, 66mpan 670 . . . . . 6
6867rexlimivw 2946 . . . . 5
6965, 68syl 16 . . . 4
7010, 69eqtrd 2498 . . 3
71 suc11reg 8057 . . 3
7270, 71sylibr 212 . 2
7337imp 429 . . 3
74 onsucuni2 6669 . . . . 5
7527, 74mpan 670 . . . 4
7675rexlimivw 2946 . . 3
7773, 76syl 16 . 2
7872, 77eqtr2d 2499 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  `cfv 5593   crnk 8202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator