MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recan Unicode version

Theorem recan 13169
Description: Cancellation law involving the real part of a complex number. (Contributed by NM, 12-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recan
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem recan
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9571 . . . . 5
2 oveq1 6303 . . . . . . . 8
32fveq2d 5875 . . . . . . 7
4 oveq1 6303 . . . . . . . 8
54fveq2d 5875 . . . . . . 7
63, 5eqeq12d 2479 . . . . . 6
76rspcv 3206 . . . . 5
81, 7ax-mp 5 . . . 4
9 negicn 9844 . . . . . 6
10 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
1110fveq2d 5875 . . . . . . . 8
12 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
1312fveq2d 5875 . . . . . . . 8
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . . 7
1514rspcv 3206 . . . . . 6
169, 15ax-mp 5 . . . . 5
1716oveq2d 6312 . . . 4
188, 17oveq12d 6314 . . 3
19 replim 12949 . . . . 5
20 mulid2 9615 . . . . . . . 8
2120eqcomd 2465 . . . . . . 7
2221fveq2d 5875 . . . . . 6
23 imre 12941 . . . . . . 7
2423oveq2d 6312 . . . . . 6
2522, 24oveq12d 6314 . . . . 5
2619, 25eqtrd 2498 . . . 4
27 replim 12949 . . . . 5
28 mulid2 9615 . . . . . . . 8
2928eqcomd 2465 . . . . . . 7
3029fveq2d 5875 . . . . . 6
31 imre 12941 . . . . . . 7
3231oveq2d 6312 . . . . . 6
3330, 32oveq12d 6314 . . . . 5
3427, 33eqtrd 2498 . . . 4
3526, 34eqeqan12d 2480 . . 3
3618, 35syl5ibr 221 . 2
37 oveq2 6304 . . . 4
3837fveq2d 5875 . . 3
3938ralrimivw 2872 . 2
4036, 39impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518  -ucneg 9829   cre 12930   cim 12931
This theorem is referenced by:  lnopunilem2  26930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator