MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccn2 Unicode version

Theorem reccn2 13419
Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2.t
Assertion
Ref Expression
reccn2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem reccn2
StepHypRef Expression
1 reccn2.t . . 3
2 1rp 11253 . . . . 5
3 simpl 457 . . . . . . . 8
4 eldifsn 4155 . . . . . . . 8
53, 4sylib 196 . . . . . . 7
6 absrpcl 13121 . . . . . . 7
75, 6syl 16 . . . . . 6
8 rpmulcl 11270 . . . . . 6
97, 8sylancom 667 . . . . 5
10 ifcl 3983 . . . . 5
112, 9, 10sylancr 663 . . . 4
127rphalfcld 11297 . . . 4
1311, 12rpmulcld 11301 . . 3
141, 13syl5eqel 2549 . 2
155adantr 465 . . . . . . . . . 10
1615simpld 459 . . . . . . . . 9
17 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
18 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . 11
1917, 18sylib 196 . . . . . . . . . 10
2019simpld 459 . . . . . . . . 9
2116, 20mulcld 9637 . . . . . . . . 9
22 mulne0 10216 . . . . . . . . . 10
2315, 19, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2416, 20, 21, 23divsubdird 10384 . . . . . . . 8
2516mulid1d 9634 . . . . . . . . . . 11
2625oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
27 1cnd 9633 . . . . . . . . . . 11
28 divcan5 10271 . . . . . . . . . . 11
2927, 19, 15, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
3026, 29eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
3120mulid1d 9634 . . . . . . . . . . 11
3220, 16mulcomd 9638 . . . . . . . . . . 11
3331, 32oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
34 divcan5 10271 . . . . . . . . . . 11
3527, 15, 19, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
3633, 35eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
3730, 36oveq12d 6314 . . . . . . . 8
3824, 37eqtrd 2498 . . . . . . 7
3938fveq2d 5875 . . . . . 6
4016, 20subcld 9954 . . . . . . 7
4140, 21, 23absdivd 13286 . . . . . 6
4239, 41eqtr3d 2500 . . . . 5
4316, 20abssubd 13284 . . . . . . . 8
4420, 16subcld 9954 . . . . . . . . 9
4544abscld 13267 . . . . . . . 8
4643, 45eqeltrd 2545 . . . . . . 7
4714adantr 465 . . . . . . . 8
4847rpred 11285 . . . . . . 7
4921abscld 13267 . . . . . . . 8
50 rpre 11255 . . . . . . . . 9
5150ad2antlr 726 . . . . . . . 8
5249, 51remulcld 9645 . . . . . . 7
53 simprr 757 . . . . . . . 8
5443, 53eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
559adantr 465 . . . . . . . . . 10
5655rpred 11285 . . . . . . . . 9
5712adantr 465 . . . . . . . . . 10
5857rpred 11285 . . . . . . . . 9
5956, 58remulcld 9645 . . . . . . . 8
60 1re 9616 . . . . . . . . . . 11
61 min2 11419 . . . . . . . . . . 11
6260, 56, 61sylancr 663 . . . . . . . . . 10
6311adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
6463rpred 11285 . . . . . . . . . . 11
6564, 56, 57lemul1d 11324 . . . . . . . . . 10
6662, 65mpbid 210 . . . . . . . . 9
671, 66syl5eqbr 4485 . . . . . . . 8
6820abscld 13267 . . . . . . . . . 10
6916abscld 13267 . . . . . . . . . . . . . 14
7069recnd 9643 . . . . . . . . . . . . 13
71702halvesd 10809 . . . . . . . . . . . 12
7269, 68resubcld 10012 . . . . . . . . . . . . . 14
7316, 20abs2difd 13288 . . . . . . . . . . . . . 14
74 min1 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7560, 56, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7764, 76, 57lemul1d 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7875, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
791, 78syl5eqbr 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8058recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180mulid2d 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8279, 81breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15
8346, 48, 58, 54, 82ltletrd 9763 . . . . . . . . . . . . . 14
8472, 46, 58, 73, 83lelttrd 9761 . . . . . . . . . . . . 13
8569, 68, 58ltsubadd2d 10175 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
8771, 86eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . . 11
8858, 68, 58ltadd1d 10170 . . . . . . . . . . 11
8987, 88mpbird 232 . . . . . . . . . 10
9058, 68, 55, 89ltmul2dd 11337 . . . . . . . . 9
9116, 20absmuld 13285 . . . . . . . . . . 11
9291oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
9368recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
9451recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
9570, 93, 94mul32d 9811 . . . . . . . . . 10
9692, 95eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
9790, 96breqtrrd 4478 . . . . . . . 8
9848, 59, 52, 67, 97lelttrd 9761 . . . . . . 7
9946, 48, 52, 54, 98lttrd 9764 . . . . . 6
10021, 23absrpcld 13279 . . . . . . 7
10146, 51, 100ltdivmuld 11332 . . . . . 6
10299, 101mpbird 232 . . . . 5
10342, 102eqbrtrd 4472 . . . 4
104103expr 615 . . 3
105104ralrimiva 2871 . 2
106 breq2 4456 . . . . 5
107106imbi1d 317 . . . 4
108107ralbidv 2896 . . 3
109108rspcev 3210 . 2
11014, 105, 109syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231  2c2 10610   crp 11249   cabs 13067
This theorem is referenced by:  rlimdiv  13468  divcn  21372  climrec  31609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator