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Theorem recex 10206
Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recex
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem recex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9613 . . 3
2 recextlem2 10205 . . . . . . . . 9
323expia 1198 . . . . . . . 8
4 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . 13
54anidms 645 . . . . . . . . . . . 12
6 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . 13
76anidms 645 . . . . . . . . . . . 12
8 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . 12
95, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
10 ax-rrecex 9585 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylan 471 . . . . . . . . . 10
12 recn 9603 . . . . . . . . . . . 12
13 recn 9603 . . . . . . . . . . . 12
14 recn 9603 . . . . . . . . . . . . . 14
15 ax-icn 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1715, 16mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1917, 18sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2119, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 addcl 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2417, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2619adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2825, 26, 27mulassd 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 recextlem1 10204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3228, 31eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3822, 34, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14
4014, 39syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
4140rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . 12
4212, 13, 41syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10
4411, 43mpd 15 . . . . . . . . 9
4544ex 434 . . . . . . . 8
463, 45syld 44 . . . . . . 7
4746adantr 465 . . . . . 6
48 neeq1 2738 . . . . . . 7
4948adantl 466 . . . . . 6
50 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
5150eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
5251rexbidv 2968 . . . . . . 7
5352adantl 466 . . . . . 6
5447, 49, 533imtr4d 268 . . . . 5
5554ex 434 . . . 4
5655rexlimivv 2954 . . 3
571, 56syl 16 . 2
5857imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828
This theorem is referenced by:  mulcand  10207  receu  10219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
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