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Theorem recexsrlem 9501
Description: The reciprocal of a positive signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsrlem
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem recexsrlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 9466 . . . 4
21brel 5053 . . 3
32simprd 463 . 2
4 df-nr 9455 . . 3
5 breq2 4456 . . . 4
6 oveq1 6303 . . . . . 6
76eqeq1d 2459 . . . . 5
87rexbidv 2968 . . . 4
95, 8imbi12d 320 . . 3
10 gt0srpr 9476 . . . . 5
11 ltexpri 9442 . . . . 5
1210, 11sylbi 195 . . . 4
13 recexpr 9450 . . . . . 6
14 1pr 9414 . . . . . . . . . . . 12
15 addclpr 9417 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
17 enrex 9465 . . . . . . . . . . . 12
1817, 4ecopqsi 7387 . . . . . . . . . . 11
1916, 14, 18sylancl 662 . . . . . . . . . 10
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
2116, 14jctir 538 . . . . . . . . . . . . . 14
2221anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
24 mulsrpr 9474 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11
26 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2726eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
29 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31 mulcompr 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32 distrpr 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3328, 29, 30, 31, 32caovdir 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3533, 34syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3627, 35sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3914elexi 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41 addcompr 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4338, 39, 40, 41, 42caov32 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4437, 43syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . 15
4745, 46syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
48 distrpr 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5149, 50eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
53 distrpr 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
56 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5755, 38, 56, 41, 42caov12 6503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
6047, 52, 593eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . . . 13
61 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6216, 61sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6414, 63mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 addclpr 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6662, 64, 65syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6914, 68mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7116, 70sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 addclpr 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7369, 71, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15
7567, 74jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
76 addclpr 9417 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7714, 14, 76mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877, 14pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14
79 enreceq 9464 . . . . . . . . . . . . . 14
8075, 78, 79sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
8160, 80syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12
8281imp 429 . . . . . . . . . . 11
8325, 82eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
84 df-1r 9460 . . . . . . . . . 10
8583, 84syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
86 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
8786eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
8887rspcev 3210 . . . . . . . . 9
8920, 85, 88syl2anc 661 . . . . . . . 8
9089exp43 612 . . . . . . 7
9190rexlimdv 2947 . . . . . 6
9213, 91syl5 32 . . . . 5
9392rexlimdv 2947 . . . 4
9412, 93syl5 32 . . 3
954, 9, 94ecoptocl 7420 . 2
963, 95mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  [cec 7328   cnp 9258   c1p 9259   cpp 9260   cmp 9261   cltp 9262   cer 9263   cnr 9264   c0r 9265   c1r 9266   cmr 9269   cltr 9270
This theorem is referenced by:  recexsr  9505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-mr 9457  df-ltr 9458  df-0r 9459  df-1r 9460
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