MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0 Unicode version

Theorem recgt0 10411
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recgt0

Proof of Theorem recgt0
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7
21recnd 9643 . . . . . 6
3 gt0ne0 10042 . . . . . 6
42, 3recne0d 10339 . . . . 5
54necomd 2728 . . . 4
65neneqd 2659 . . 3
7 0lt1 10100 . . . . 5
8 0re 9617 . . . . . 6
9 1re 9616 . . . . . 6
108, 9ltnsymi 9724 . . . . 5
117, 10ax-mp 5 . . . 4
12 simpll 753 . . . . . . . . . 10
133adantr 465 . . . . . . . . . 10
1412, 13rereccld 10396 . . . . . . . . 9
1514renegcld 10011 . . . . . . . 8
16 simpr 461 . . . . . . . . 9
171, 3rereccld 10396 . . . . . . . . . . 11
1817adantr 465 . . . . . . . . . 10
1918lt0neg1d 10147 . . . . . . . . 9
2016, 19mpbid 210 . . . . . . . 8
21 simplr 755 . . . . . . . 8
2215, 12, 20, 21mulgt0d 9758 . . . . . . 7
232adantr 465 . . . . . . . . . 10
2423, 13reccld 10338 . . . . . . . . 9
2524, 23mulneg1d 10034 . . . . . . . 8
2623, 13recid2d 10341 . . . . . . . . 9
2726negeqd 9837 . . . . . . . 8
2825, 27eqtrd 2498 . . . . . . 7
2922, 28breqtrd 4476 . . . . . 6
30 1red 9632 . . . . . . 7
3130lt0neg1d 10147 . . . . . 6
3229, 31mpbird 232 . . . . 5
3332ex 434 . . . 4
3411, 33mtoi 178 . . 3
35 ioran 490 . . 3
366, 34, 35sylanbrc 664 . 2
37 axlttri 9677 . . 3
388, 17, 37sylancr 663 . 2
3936, 38mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649  -ucneg 9829   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  prodgt0  10412  ltdiv1  10431  ltrec1  10457  lerec2  10458  lediv12a  10463  recgt1i  10467  recreclt  10469  recgt0i  10475  recgt0d  10505  nnrecgt0  10598  nnrecl  10818  resqrex  13084  leopmul  27053  cdj1i  27352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator