Theorem recgt0ii 10476

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1
recgt0i.2

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9571	. . . . 5
2		ltplus1.1	. . . . . 6
3	2	recni 9629	. . . . 5
4		ax-1ne0 9582	. . . . 5
5		recgt0i.2	. . . . . 6
6	2, 5	gt0ne0ii 10114	. . . . 5
7	1, 3, 4, 6	divne0i 10317	. . . 4
8	7	nesymi 2730	. . 3
9		0lt1 10100	. . . . 5
10		0re 9617	. . . . . 6
11		1re 9616	. . . . . 6
12	10, 11	ltnsymi 9724	. . . . 5
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4
14	2, 6	rereccli 10334	. . . . . . . . 9
15	14	renegcli 9903	. . . . . . . 8
16	15, 2	mulgt0i 9738	. . . . . . 7
17	5, 16	mpan2 671	. . . . . 6
18	14	recni 9629	. . . . . . . 8
19	18, 3	mulneg1i 10027	. . . . . . 7
20	3, 6	recidi 10300	. . . . . . . . 9
21	3, 18, 20	mulcomli 9624	. . . . . . . 8
22	21	negeqi 9836	. . . . . . 7
23	19, 22	eqtri 2486	. . . . . 6
24	17, 23	syl6breq 4491	. . . . 5
25		lt0neg1 10083	. . . . . 6
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5
27		lt0neg1 10083	. . . . . 6
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5
29	24, 26, 28	3imtr4i 266	. . . 4
30	13, 29	mto 176	. . 3
31	8, 30	pm3.2ni 854	. 2
32		axlttri 9677	. . 3
33	10, 14, 32	mp2an 672	. 2
34	31, 33	mpbir 209	1

Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  clt 9649  -ucneg 9829  cdiv 10231

This theorem is referenced by:  halfgt0  10781  0.999...  13690  sincos2sgn  13929  rpnnen2lem3  13950  rpnnen2lem4  13951  rpnnen2lem9  13956  pcoass  21524  log2tlbnd  23276  stoweidlem34  31816  stoweidlem59  31841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232