Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Unicode version

Theorem recgt0ii 10476
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1
recgt0i.2
Assertion
Ref Expression
recgt0ii

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9571 . . . . 5
2 ltplus1.1 . . . . . 6
32recni 9629 . . . . 5
4 ax-1ne0 9582 . . . . 5
5 recgt0i.2 . . . . . 6
62, 5gt0ne0ii 10114 . . . . 5
71, 3, 4, 6divne0i 10317 . . . 4
87nesymi 2730 . . 3
9 0lt1 10100 . . . . 5
10 0re 9617 . . . . . 6
11 1re 9616 . . . . . 6
1210, 11ltnsymi 9724 . . . . 5
139, 12ax-mp 5 . . . 4
142, 6rereccli 10334 . . . . . . . . 9
1514renegcli 9903 . . . . . . . 8
1615, 2mulgt0i 9738 . . . . . . 7
175, 16mpan2 671 . . . . . 6
1814recni 9629 . . . . . . . 8
1918, 3mulneg1i 10027 . . . . . . 7
203, 6recidi 10300 . . . . . . . . 9
213, 18, 20mulcomli 9624 . . . . . . . 8
2221negeqi 9836 . . . . . . 7
2319, 22eqtri 2486 . . . . . 6
2417, 23syl6breq 4491 . . . . 5
25 lt0neg1 10083 . . . . . 6
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5
27 lt0neg1 10083 . . . . . 6
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5
2924, 26, 283imtr4i 266 . . . 4
3013, 29mto 176 . . 3
318, 30pm3.2ni 854 . 2
32 axlttri 9677 . . 3
3310, 14, 32mp2an 672 . 2
3431, 33mpbir 209 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649  -ucneg 9829   cdiv 10231 This theorem is referenced by:  halfgt0  10781  0.999...  13690  sincos2sgn  13929  rpnnen2lem3  13950  rpnnen2lem4  13951  rpnnen2lem9  13956  pcoass  21524  log2tlbnd  23276  stoweidlem34  31816  stoweidlem59  31841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
 Copyright terms: Public domain W3C validator