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Theorem reclem2pr 9447
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1
Assertion
Ref Expression
reclem2pr
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 9389 . . . . . 6
2 pssnel 3893 . . . . . 6
3 recclnq 9365 . . . . . . . . . . 11
4 nsmallnq 9376 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10
65adantr 465 . . . . . . . . 9
7 recrecnq 9366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15
109anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
11 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
1711, 16spcev 3201 . . . . . . . . . . . . . 14
1810, 17syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . 13
19 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
20 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221exbidv 1714 . . . . . . . . . . . . . 14
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . 14
2419, 22, 23elab2 3249 . . . . . . . . . . . . 13
2518, 24syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12
2625expcomd 438 . . . . . . . . . . 11
2726imp 429 . . . . . . . . . 10
2827eximdv 1710 . . . . . . . . 9
296, 28mpd 15 . . . . . . . 8
30 n0 3794 . . . . . . . 8
3129, 30sylibr 212 . . . . . . 7
3231exlimiv 1722 . . . . . 6
331, 2, 323syl 20 . . . . 5
34 0pss 3864 . . . . 5
3533, 34sylibr 212 . . . 4
36 prn0 9388 . . . . . . 7
37 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . 14
38 recrecnq 9366 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
42 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
43 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
4642, 45spcev 3201 . . . . . . . . . . . . 13
4741, 46syl6bir 229 . . . . . . . . . . . 12
4847pm2.43i 47 . . . . . . . . . . 11
49 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . 14
50 dmrecnq 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 0nnq 9323 . . . . . . . . . . . . . . 15
5250, 51ndmfvrcl 5896 . . . . . . . . . . . . . 14
5349, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
54 ltrnq 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 prcdnq 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756alrimiv 1719 . . . . . . . . . . . . . 14
5823abeq2i 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 exanali 1670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160con2bii 332 . . . . . . . . . . . . . 14
6257, 61sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
6353, 62jca 532 . . . . . . . . . . . 12
6463eximi 1656 . . . . . . . . . . 11
6548, 64syl 16 . . . . . . . . . 10
6665ex 434 . . . . . . . . 9
6766exlimdv 1724 . . . . . . . 8
68 n0 3794 . . . . . . . 8
69 nss 3561 . . . . . . . 8
7067, 68, 693imtr4g 270 . . . . . . 7
7136, 70mpd 15 . . . . . 6
72 ltrelnq 9325 . . . . . . . . . . . 12
7372brel 5053 . . . . . . . . . . 11
7473simpld 459 . . . . . . . . . 10
7574adantr 465 . . . . . . . . 9
7675exlimiv 1722 . . . . . . . 8
7758, 76sylbi 195 . . . . . . 7
7877ssriv 3507 . . . . . 6
7971, 78jctil 537 . . . . 5
80 dfpss3 3589 . . . . 5
8179, 80sylibr 212 . . . 4
8235, 81jca 532 . . 3
83 ltsonq 9368 . . . . . . . . . . . 12
8483, 72sotri 5399 . . . . . . . . . . 11
8584ex 434 . . . . . . . . . 10
8685anim1d 564 . . . . . . . . 9
8786eximdv 1710 . . . . . . . 8
8887, 58, 243imtr4g 270 . . . . . . 7
8988com12 31 . . . . . 6
9089alrimiv 1719 . . . . 5
91 nfe1 1840 . . . . . . . . . 10
9291nfab 2623 . . . . . . . . 9
9323, 92nfcxfr 2617 . . . . . . . 8
94 nfv 1707 . . . . . . . 8
9593, 94nfrex 2920 . . . . . . 7
96 19.8a 1857 . . . . . . . . . . . . . 14
9796, 24sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
9897adantll 713 . . . . . . . . . . . 12
99 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99jca 532 . . . . . . . . . . 11
101100expcom 435 . . . . . . . . . 10
102101eximdv 1710 . . . . . . . . 9
103 ltbtwnnq 9377 . . . . . . . . 9
104 df-rex 2813 . . . . . . . . 9
105102, 103, 1043imtr4g 270 . . . . . . . 8
106105impcom 430 . . . . . . 7
10795, 106exlimi 1912 . . . . . 6
10858, 107sylbi 195 . . . . 5
10990, 108jca 532 . . . 4
110109rgen 2817 . . 3
11182, 110jctir 538 . 2
112 elnp 9386 . 2
113111, 112sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593   cnq 9251   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258
This theorem is referenced by:  reclem3pr  9448  reclem4pr  9449  recexpr  9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380
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