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Theorem reclem3pr 9448
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1
Assertion
Ref Expression
reclem3pr
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 9381 . . . 4
21abeq2i 2584 . . 3
3 ltrnq 9378 . . . . . . 7
4 mulcomnq 9352 . . . . . . . . 9
5 1nq 9327 . . . . . . . . . 10
6 recclnq 9365 . . . . . . . . . 10
7 mulidnq 9362 . . . . . . . . . 10
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9
9 recidnq 9364 . . . . . . . . . 10
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9
114, 8, 103eqtr3i 2494 . . . . . . . 8
1211breq1i 4459 . . . . . . 7
133, 12bitri 249 . . . . . 6
14 prlem936 9446 . . . . . 6
1513, 14sylan2b 475 . . . . 5
16 prnmax 9394 . . . . . . 7
1716ad2ant2r 746 . . . . . 6
18 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . 12
20193adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
21 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . 12
22 ltrelnq 9325 . . . . . . . . . . . . . 14
2322brel 5053 . . . . . . . . . . . . 13
2423simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11
26 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
27 simp2r 1023 . . . . . . . . . . 11
28 ltrnq 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3528, 34syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14
38 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
39 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4038, 39syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
41 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4240, 41oveqan12d 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
485, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4942, 46, 483eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 recclnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51 mulclnq 9346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5250, 51sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 recmulnq 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5549, 54mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14
5937, 58anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13
60 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6561, 64anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
6660, 65spcev 3201 . . . . . . . . . . . . . 14
67 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069exbidv 1714 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
7267, 70, 71elab2 3249 . . . . . . . . . . . . . 14
7366, 72sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
7459, 73syl6 33 . . . . . . . . . . . 12
7574imp 429 . . . . . . . . . . 11
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
7722brel 5053 . . . . . . . . . . . . 13
7877simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
79783ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11
80 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . 13
81 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 81syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . 12
83 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . 13
84 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . 14
8584oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 85syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . 12
8782, 86sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11
8879, 25, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
89 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
9089eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
9190rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
9276, 88, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9
93923expia 1198 . . . . . . . 8
9493reximdv 2931 . . . . . . 7
9571reclem2pr 9447 . . . . . . . . 9
96 df-mp 9383 . . . . . . . . . 10
97 mulclnq 9346 . . . . . . . . . 10
9896, 97genpelv 9399 . . . . . . . . 9
9995, 98mpdan 668 . . . . . . . 8
10099ad2antrr 725 . . . . . . 7
10194, 100sylibrd 234 . . . . . 6
10217, 101mpd 15 . . . . 5
10315, 102rexlimddv 2953 . . . 4
104103ex 434 . . 3
1052, 104syl5bi 217 . 2
106105ssrdv 3509 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258   c1p 9259   cmp 9261
This theorem is referenced by:  reclem4pr  9449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-mp 9383
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