MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem4pr Unicode version

Theorem reclem4pr 9449
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1
Assertion
Ref Expression
reclem4pr
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem reclem4pr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7
21reclem2pr 9447 . . . . . 6
3 df-mp 9383 . . . . . . 7
4 mulclnq 9346 . . . . . . 7
53, 4genpelv 9399 . . . . . 6
62, 5mpdan 668 . . . . 5
71abeq2i 2584 . . . . . . . . 9
8 ltrelnq 9325 . . . . . . . . . . . . . . 15
98brel 5053 . . . . . . . . . . . . . 14
109simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
11 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 recclnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17 prub 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1816, 17sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2321, 22breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2419, 23bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2618, 25sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2715, 26anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 ltsonq 9368 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928, 8sotri 5399 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 29syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3130exp4b 607 . . . . . . . . . . . . 13
3210, 31syl5 32 . . . . . . . . . . . 12
3332pm2.43d 48 . . . . . . . . . . 11
3433impd 431 . . . . . . . . . 10
3534exlimdv 1724 . . . . . . . . 9
367, 35syl5bi 217 . . . . . . . 8
37 breq1 4455 . . . . . . . . 9
3837biimprcd 225 . . . . . . . 8
3936, 38syl6 33 . . . . . . 7
4039expimpd 603 . . . . . 6
4140rexlimdvv 2955 . . . . 5
426, 41sylbid 215 . . . 4
43 df-1p 9381 . . . . 5
4443abeq2i 2584 . . . 4
4542, 44syl6ibr 227 . . 3
4645ssrdv 3509 . 2
471reclem3pr 9448 . 2
4846, 47eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258   c1p 9259   cmp 9261
This theorem is referenced by:  recexpr  9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-mp 9383
  Copyright terms: Public domain W3C validator