MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recmulnq Unicode version

Theorem recmulnq 9363
Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recmulnq

Proof of Theorem recmulnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5881 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 eleq1 2529 . . 3
42, 3syl5ibcom 220 . 2
5 id 22 . . . . . . 7
6 1nq 9327 . . . . . . 7
75, 6syl6eqel 2553 . . . . . 6
8 mulnqf 9348 . . . . . . . 8
98fdmi 5741 . . . . . . 7
10 0nnq 9323 . . . . . . 7
119, 10ndmovrcl 6461 . . . . . 6
127, 11syl 16 . . . . 5
1312simprd 463 . . . 4
14 elex 3118 . . . 4
1513, 14syl 16 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 oveq1 6303 . . . . 5
1817eqeq1d 2459 . . . 4
19 oveq2 6304 . . . . 5
2019eqeq1d 2459 . . . 4
21 nqerid 9332 . . . . . . . . . 10
22 relxp 5115 . . . . . . . . . . . 12
23 elpqn 9324 . . . . . . . . . . . 12
24 1st2nd 6846 . . . . . . . . . . . 12
2522, 23, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
2625fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
2721, 26eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
2827oveq1d 6311 . . . . . . . 8
29 mulerpq 9356 . . . . . . . 8
3028, 29syl6eq 2514 . . . . . . 7
31 xp1st 6830 . . . . . . . . . . 11
3223, 31syl 16 . . . . . . . . . 10
33 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . 11
3423, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
35 mulpipq 9339 . . . . . . . . . 10
3632, 34, 34, 32, 35syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
37 mulcompi 9295 . . . . . . . . . 10
3837opeq2i 4221 . . . . . . . . 9
3936, 38syl6eq 2514 . . . . . . . 8
4039fveq2d 5875 . . . . . . 7
41 nqerid 9332 . . . . . . . . 9
426, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8
43 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . 11
4432, 34, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
45 1nqenq 9361 . . . . . . . . . 10
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9
47 elpqn 9324 . . . . . . . . . . 11
486, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
49 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . 11
5044, 44, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
51 nqereq 9334 . . . . . . . . . 10
5248, 50, 51sylancr 663 . . . . . . . . 9
5346, 52mpbid 210 . . . . . . . 8
5442, 53syl5reqr 2513 . . . . . . 7
5530, 40, 543eqtrd 2502 . . . . . 6
56 fvex 5881 . . . . . . 7
57 oveq2 6304 . . . . . . . 8
5857eqeq1d 2459 . . . . . . 7
5956, 58spcev 3201 . . . . . 6
6055, 59syl 16 . . . . 5
61 mulcomnq 9352 . . . . . . 7
62 mulassnq 9358 . . . . . . 7
63 mulidnq 9362 . . . . . . 7
646, 9, 10, 61, 62, 63caovmo 6512 . . . . . 6
65 eu5 2310 . . . . . 6
6664, 65mpbiran2 919 . . . . 5
6760, 66sylibr 212 . . . 4
68 cnvimass 5362 . . . . . . . 8
69 df-rq 9316 . . . . . . . 8
709eqcomi 2470 . . . . . . . 8
7168, 69, 703sstr4i 3542 . . . . . . 7
72 relxp 5115 . . . . . . 7
73 relss 5095 . . . . . . 7
7471, 72, 73mp2 9 . . . . . 6
7569eleq2i 2535 . . . . . . . 8
76 ffn 5736 . . . . . . . . 9
77 fniniseg 6008 . . . . . . . . 9
788, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . 8
79 ancom 450 . . . . . . . . 9
80 ancom 450 . . . . . . . . . 10
81 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
826, 81mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14
839, 10ndmovrcl 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
85 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8784simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
8886, 872thd 240 . . . . . . . . . . 11
8988pm5.32i 637 . . . . . . . . . 10
90 df-ov 6299 . . . . . . . . . . . 12
9190eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . 11
9291anbi1i 695 . . . . . . . . . 10
9380, 89, 923bitr2ri 274 . . . . . . . . 9
9479, 93bitri 249 . . . . . . . 8
9575, 78, 943bitri 271 . . . . . . 7
9695a1i 11 . . . . . 6
9774, 96opabbi2dv 5157 . . . . 5
9897trud 1404 . . . 4
9918, 20, 67, 98fvopab3g 5952 . . 3
10099ex 434 . 2
1014, 16, 100pm5.21ndd 354 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395   wtru 1396  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  E*wmo 2283   cvv 3109  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cmi 9245   cmpq 9248   ceq 9250   cnq 9251   c1q 9252   cerq 9253   cmq 9255   crq 9256
This theorem is referenced by:  recidnq  9364  recrecnq  9366  reclem3pr  9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-mpq 9308  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316
  Copyright terms: Public domain W3C validator