Theorem relcnvtr 5532

Description: A relation is transitive iff its converse is transitive. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvtr

Proof of Theorem relcnvtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvco 5193	. . 3
2		cnvss 5180	. . 3
3	1, 2	syl5eqssr 3548	. 2
4		cnvco 5193	. . . 4
5		cnvss 5180	. . . 4
6		sseq1 3524	. . . . 5
7		dfrel2 5462	. . . . . . 7
8		coeq1 5165	. . . . . . . . . 10
9		coeq2 5166	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9
11		id 22	. . . . . . . . 9
12	10, 11	sseq12d 3532	. . . . . . . 8
13	12	biimpd 207	. . . . . . 7
14	7, 13	sylbi 195	. . . . . 6
15	14	com12 31	. . . . 5
16	6, 15	syl6bi 228	. . . 4
17	4, 5, 16	mpsyl 63	. . 3
18	17	com12 31	. 2
19	3, 18	impbid2 204	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  C_wss 3475  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  Relwrel 5009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013