MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relcnvtr Unicode version

Theorem relcnvtr 5532
Description: A relation is transitive iff its converse is transitive. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcnvtr

Proof of Theorem relcnvtr
StepHypRef Expression
1 cnvco 5193 . . 3
2 cnvss 5180 . . 3
31, 2syl5eqssr 3548 . 2
4 cnvco 5193 . . . 4
5 cnvss 5180 . . . 4
6 sseq1 3524 . . . . 5
7 dfrel2 5462 . . . . . . 7
8 coeq1 5165 . . . . . . . . . 10
9 coeq2 5166 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
11 id 22 . . . . . . . . 9
1210, 11sseq12d 3532 . . . . . . . 8
1312biimpd 207 . . . . . . 7
147, 13sylbi 195 . . . . . 6
1514com12 31 . . . . 5
166, 15syl6bi 228 . . . 4
174, 5, 16mpsyl 63 . . 3
1817com12 31 . 2
193, 18impbid2 204 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  C_wss 3475  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  Relwrel 5009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013
  Copyright terms: Public domain W3C validator