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Theorem relcoi1 5541
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 5538 . . 3
2 resundi 5292 . . . . 5
3 coeq2 5166 . . . . 5
4 coundi 5513 . . . . . . 7
5 resco 5516 . . . . . . . 8
6 coi1 5528 . . . . . . . . 9
7 reseq1 5272 . . . . . . . . . 10
8 resdm 5320 . . . . . . . . . . 11
9 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . 14
10 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 resco 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 reseq1 5272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1514uneq2d 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
16 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
17 resss 5302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18 ssequn2 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1917, 18mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
206, 19syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2220, 21syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2524com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2615, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2827eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2928com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3013, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
316, 30mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3231com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3311, 12, 32mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3410, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14
389, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3938ex 434 . . . . . . . . . . . 12
4039com3l 81 . . . . . . . . . . 11
418, 40mpcom 36 . . . . . . . . . 10
427, 41syl5com 30 . . . . . . . . 9
436, 42mpcom 36 . . . . . . . 8
445, 43mpi 17 . . . . . . 7
454, 44syl5eq 2510 . . . . . 6
46 eqeq1 2461 . . . . . 6
4745, 46syl5ibr 221 . . . . 5
482, 3, 47mp2b 10 . . . 4
49 reseq2 5273 . . . . . 6
5049coeq2d 5170 . . . . 5
5150eqeq1d 2459 . . . 4
5248, 51syl5ibr 221 . . 3
531, 52mpcom 36 . 2
5453, 6eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  u.cun 3473  C_wss 3475  U.cuni 4249   cid 4795  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  Relwrel 5009
This theorem is referenced by:  tsrdir  15868  relexpsucl  29055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016
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