MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Unicode version

Theorem reldmtpos 6982
Description: Necessary and sufficient condition for to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4582 . . . . 5
21eldm 5205 . . . 4
3 vex 3112 . . . . . . 7
4 brtpos0 6981 . . . . . . 7
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6
6 0nelxp 5032 . . . . . . . 8
7 df-rel 5011 . . . . . . . . 9
8 ssel 3497 . . . . . . . . 9
97, 8sylbi 195 . . . . . . . 8
106, 9mtoi 178 . . . . . . 7
111, 3breldm 5212 . . . . . . 7
1210, 11nsyl3 119 . . . . . 6
135, 12sylbir 213 . . . . 5
1413exlimiv 1722 . . . 4
152, 14sylbi 195 . . 3
1615con2i 120 . 2
17 vex 3112 . . . . . 6
1817eldm 5205 . . . . 5
19 relcnv 5379 . . . . . . . . . . 11
20 df-rel 5011 . . . . . . . . . . 11
2119, 20mpbi 208 . . . . . . . . . 10
2221sseli 3499 . . . . . . . . 9
2322a1i 11 . . . . . . . 8
24 elsni 4054 . . . . . . . . . . . 12
2524breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
261, 3breldm 5212 . . . . . . . . . . . . 13
2726pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . 12
285, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
2925, 28syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
3029com3l 81 . . . . . . . . 9
3130impcom 430 . . . . . . . 8
32 brtpos2 6980 . . . . . . . . . . . 12
333, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
3433simplbi 460 . . . . . . . . . 10
35 elun 3644 . . . . . . . . . 10
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . 9
3736adantl 466 . . . . . . . 8
3823, 31, 37mpjaod 381 . . . . . . 7
3938ex 434 . . . . . 6
4039exlimdv 1724 . . . . 5
4118, 40syl5bi 217 . . . 4
4241ssrdv 3509 . . 3
4342, 7sylibr 212 . 2
4416, 43impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  Relwrel 5009  tposctpos 6973
This theorem is referenced by:  dmtpos  6986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-tpos 6974
  Copyright terms: Public domain W3C validator