MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remullem Unicode version

Theorem remullem 12961
Description: Lemma for remul 12962, immul 12969, and cjmul 12975. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 12949 . . . . . 6
2 replim 12949 . . . . . 6
31, 2oveqan12d 6315 . . . . 5
4 recl 12943 . . . . . . . . 9
54adantr 465 . . . . . . . 8
65recnd 9643 . . . . . . 7
7 ax-icn 9572 . . . . . . . 8
8 imcl 12944 . . . . . . . . . 10
98adantr 465 . . . . . . . . 9
109recnd 9643 . . . . . . . 8
11 mulcl 9597 . . . . . . . 8
127, 10, 11sylancr 663 . . . . . . 7
136, 12addcld 9636 . . . . . 6
14 recl 12943 . . . . . . . 8
1514adantl 466 . . . . . . 7
1615recnd 9643 . . . . . 6
17 imcl 12944 . . . . . . . . 9
1817adantl 466 . . . . . . . 8
1918recnd 9643 . . . . . . 7
20 mulcl 9597 . . . . . . 7
217, 19, 20sylancr 663 . . . . . 6
2213, 16, 21adddid 9641 . . . . 5
236, 12, 16adddird 9642 . . . . . . 7
246, 12, 21adddird 9642 . . . . . . 7
2523, 24oveq12d 6314 . . . . . 6
265, 15remulcld 9645 . . . . . . . 8
2726recnd 9643 . . . . . . 7
2812, 21mulcld 9637 . . . . . . 7
2912, 16mulcld 9637 . . . . . . 7
306, 21mulcld 9637 . . . . . . 7
3127, 28, 29, 30add42d 9827 . . . . . 6
327a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3332, 10, 32, 19mul4d 9813 . . . . . . . . . 10
34 ixi 10203 . . . . . . . . . . . 12
3534oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11
369, 18remulcld 9645 . . . . . . . . . . . . 13
3736recnd 9643 . . . . . . . . . . . 12
3837mulm1d 10033 . . . . . . . . . . 11
3935, 38syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
4033, 39eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
4140oveq2d 6312 . . . . . . . 8
4227, 37negsubd 9960 . . . . . . . 8
4341, 42eqtrd 2498 . . . . . . 7
449, 15remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
4544recnd 9643 . . . . . . . . . 10
46 mulcl 9597 . . . . . . . . . 10
477, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . 9
485, 18remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
4948recnd 9643 . . . . . . . . . 10
50 mulcl 9597 . . . . . . . . . 10
517, 49, 50sylancr 663 . . . . . . . . 9
5247, 51addcomd 9803 . . . . . . . 8
5332, 10, 16mulassd 9640 . . . . . . . . 9
546, 32, 19mul12d 9810 . . . . . . . . 9
5553, 54oveq12d 6314 . . . . . . . 8
5632, 49, 45adddid 9641 . . . . . . . 8
5752, 55, 563eqtr4d 2508 . . . . . . 7
5843, 57oveq12d 6314 . . . . . 6
5925, 31, 583eqtr2d 2504 . . . . 5
603, 22, 593eqtrd 2502 . . . 4
6160fveq2d 5875 . . 3
6226, 36resubcld 10012 . . . 4
6348, 44readdcld 9644 . . . 4
64 crre 12947 . . . 4
6562, 63, 64syl2anc 661 . . 3
6661, 65eqtrd 2498 . 2
6760fveq2d 5875 . . 3
68 crim 12948 . . . 4
6962, 63, 68syl2anc 661 . . 3
7067, 69eqtrd 2498 . 2
71 mulcl 9597 . . . 4
72 remim 12950 . . . 4
7371, 72syl 16 . . 3
74 remim 12950 . . . . 5
75 remim 12950 . . . . 5
7674, 75oveqan12d 6315 . . . 4
7716, 21subcld 9954 . . . . 5
786, 12, 77subdird 10038 . . . 4
7927, 30, 29, 28subadd4d 10002 . . . . 5
806, 16, 21subdid 10037 . . . . . 6
8112, 16, 21subdid 10037 . . . . . 6
8280, 81oveq12d 6314 . . . . 5
8365, 61, 433eqtr4d 2508 . . . . . 6
8470oveq2d 6312 . . . . . . 7
8554, 53oveq12d 6314 . . . . . . 7
8656, 84, 853eqtr4d 2508 . . . . . 6
8783, 86oveq12d 6314 . . . . 5
8879, 82, 873eqtr4d 2508 . . . 4
8976, 78, 883eqtrd 2502 . . 3
9073, 89eqtr4d 2501 . 2
9166, 70, 903jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   ccj 12929   cre 12930   cim 12931
This theorem is referenced by:  remul  12962  immul  12969  cjmul  12975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator