Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9905
 Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3993 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9903, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9835 . . 3
21eleq1d 2526 . 2
3 1re 9616 . . . 4
43elimel 4004 . . 3
54renegcli 9903 . 2
62, 5dedth 3993 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941   cr 9512  1c1 9514  -ucneg 9829 This theorem is referenced by:  resubcl  9906  negreb  9907  renegcld  10011  ltnegcon1  10078  ltnegcon2  10079  lenegcon1  10081  lenegcon2  10082  mullt0  10097  mulge0b  10437  mulle0b  10438  infm3lem  10526  infm3  10527  riotaneg  10543  infmrcl  10547  elnnz  10899  btwnz  10991  ublbneg  11195  negn0  11197  supminf  11198  uzwo3  11206  zmax  11208  rebtwnz  11210  rpneg  11278  max0sub  11424  xnegcl  11441  xnegneg  11442  xltnegi  11444  rexsub  11461  xnegid  11464  xnegdi  11469  xpncan  11472  xnpcan  11473  xadddi  11516  iooneg  11669  iccneg  11670  icoshftf1o  11672  dfceil2  11968  ceicl  11970  ceige  11972  ceim1l  11974  negmod0  12004  crim  12948  cnpart  13073  sqrtneglem  13100  absnid  13131  max0add  13143  absdiflt  13150  absdifle  13151  sqreulem  13192  resinhcl  13891  rpcoshcl  13892  tanhlt1  13895  tanhbnd  13896  remulg  18643  resubdrg  18644  cnheiborlem  21454  evth2  21460  ismbf3d  22061  mbfinf  22072  itgconst  22225  reeff1o  22842  atanbnd  23257  readdsubgo  25355  negelrp  27564  sgnneg  28479  ltflcei  30043  cos2h  30046  iblabsnclem  30078  ftc1anclem1  30090  areacirclem2  30108  areacirclem3  30109  areacirc  30112  mulltgt0  31397  limsupre  31647  stoweidlem10  31792  etransclem46  32063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831
 Copyright terms: Public domain W3C validator