Theorem renegcli 9903

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 9905 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1

Assertion

Ref	Expression
renegcli

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2
2		ax-rnegex 9584	. 2
3		recn 9603	. . . . 5
4		df-neg 9831	. . . . . . 7
5	4	eqeq1i 2464	. . . . . 6
6		0cn 9609	. . . . . . 7
7	1	recni 9629	. . . . . . 7
8		subadd 9846	. . . . . . 7
9	6, 7, 8	mp3an12 1314	. . . . . 6
10	5, 9	syl5bb 257	. . . . 5
11	3, 10	syl 16	. . . 4
12		eleq1a 2540	. . . 4
13	11, 12	sylbird 235	. . 3
14	13	rexlimiv 2943	. 2
15	1, 2, 14	mp2b 10	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  caddc 9516  cmin 9828  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  resubcli  9904  renegcl  9905  recgt0ii  10476  inelr  10551  cju  10557  neg1rr  10665  sincos2sgn  13929  dvdslelem  14030  divalglem1  14052  divalglem6  14056  modsubi  14558  neghalfpire  22858  coseq0negpitopi  22896  pige3  22910  negpitopissre  22927  eff1o  22936  ellogrn  22947  logimclad  22960  logneg  22972  logcj  22991  argregt0  22995  argrege0  22996  argimgt0  22997  argimlt0  22998  logimul  22999  logneg2  23000  logcnlem3  23025  dvloglem  23029  logf1o2  23031  efopnlem2  23038  cxpsqrtlem  23083  abscxpbnd  23127  ang180lem2  23142  logreclem  23150  asinneg  23217  asinsin  23223  asin1  23225  asinrecl  23233  atanlogaddlem  23244  atanlogsublem  23246  atanlogsub  23247  atantan  23254  atanbndlem  23256  birthday  23284  ppiub  23479  lgsdir2lem1  23598  ex-fl  25168  normlem2  26028  logi  29121  cos2h  30046  tan2h  30047  fourierdlem5  31894  fourierdlem9  31898  fourierdlem18  31907  fourierdlem24  31913  fourierdlem38  31927  fourierdlem40  31929  fourierdlem43  31932  fourierdlem44  31933  fourierdlem46  31935  fourierdlem50  31939  fourierdlem62  31951  fourierdlem66  31955  fourierdlem74  31963  fourierdlem75  31964  fourierdlem76  31965  fourierdlem77  31966  fourierdlem78  31967  fourierdlem83  31972  fourierdlem85  31974  fourierdlem87  31976  fourierdlem88  31977  fourierdlem93  31982  fourierdlem94  31983  fourierdlem95  31984  fourierdlem101  31990  fourierdlem102  31991  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem111  32000  fourierdlem112  32001  fourierdlem113  32002  fourierdlem114  32003  sqwvfoura  32011  sqwvfourb  32012  fouriersw  32014  fouriercn  32015  bj-pinftyccb  34624  bj-minftyccb  34628  bj-pinftynminfty  34630  renegclALT  34694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831