MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs Unicode version

Theorem rescabs 14905
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c
rescabs.h
rescabs.j
rescabs.s
rescabs.t
Assertion
Ref Expression
rescabs

Proof of Theorem rescabs
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4
2 ovex 6247 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 rescabs.s . . . . 5
5 rescabs.t . . . . 5
64, 5ssexd 4556 . . . 4
7 rescabs.j . . . 4
81, 3, 6, 7rescval2 14900 . . 3
9 simpr 461 . . . . . . 7
102a1i 11 . . . . . . 7
116adantr 465 . . . . . . 7
12 eqid 2454 . . . . . . . 8
13 baseid 14378 . . . . . . . . 9
14 1re 9522 . . . . . . . . . . 11
15 1nn 10471 . . . . . . . . . . . 12
16 4nn0 10736 . . . . . . . . . . . 12
17 1nn0 10733 . . . . . . . . . . . 12
18 1lt10 10670 . . . . . . . . . . . 12
1915, 16, 17, 18declti 10919 . . . . . . . . . . 11
2014, 19ltneii 9624 . . . . . . . . . 10
21 basendx 14382 . . . . . . . . . . 11
22 homndx 14512 . . . . . . . . . . 11
2321, 22neeq12i 2742 . . . . . . . . . 10
2420, 23mpbir 209 . . . . . . . . 9
2513, 24setsnid 14374 . . . . . . . 8
2612, 25ressid2 14385 . . . . . . 7
279, 10, 11, 26syl3anc 1219 . . . . . 6
2827oveq1d 6237 . . . . 5
29 ovex 6247 . . . . . 6
30 xpexg 6640 . . . . . . . . 9
316, 6, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8
32 fnex 6069 . . . . . . . 8
337, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . 7
3433adantr 465 . . . . . 6
35 setsabs 14361 . . . . . 6
3629, 34, 35sylancr 663 . . . . 5
37 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
38 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38ressbas 14387 . . . . . . . . . . . . 13
404, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4140sseq1d 3497 . . . . . . . . . . 11
4241biimpar 485 . . . . . . . . . 10
43 inss2 3685 . . . . . . . . . . 11
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10
4542, 44ssind 3688 . . . . . . . . 9
465adantr 465 . . . . . . . . . 10
47 ssrin 3689 . . . . . . . . . 10
4846, 47syl 16 . . . . . . . . 9
4945, 48eqssd 3487 . . . . . . . 8
5049oveq2d 6238 . . . . . . 7
514adantr 465 . . . . . . . 8
5238ressinbas 14393 . . . . . . . 8
5351, 52syl 16 . . . . . . 7
5438ressinbas 14393 . . . . . . . 8
5511, 54syl 16 . . . . . . 7
5650, 53, 553eqtr4d 2505 . . . . . 6
5756oveq1d 6237 . . . . 5
5828, 36, 573eqtrd 2499 . . . 4
59 simpr 461 . . . . . . . 8
602a1i 11 . . . . . . . 8
616adantr 465 . . . . . . . 8
6212, 25ressval2 14386 . . . . . . . 8
6359, 60, 61, 62syl3anc 1219 . . . . . . 7
6429a1i 11 . . . . . . . 8
6524necomi 2723 . . . . . . . . 9
6665a1i 11 . . . . . . . 8
67 rescabs.h . . . . . . . . . 10
68 xpexg 6640 . . . . . . . . . . 11
694, 4, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
70 fnex 6069 . . . . . . . . . 10
7167, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7271adantr 465 . . . . . . . 8
73 fvex 5823 . . . . . . . . . 10
7473inex2 4551 . . . . . . . . 9
7574a1i 11 . . . . . . . 8
76 fvex 5823 . . . . . . . . 9
77 fvex 5823 . . . . . . . . 9
7876, 77setscom 14362 . . . . . . . 8
7964, 66, 72, 75, 78syl22anc 1220 . . . . . . 7
80 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
81 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
8280, 81ressval2 14386 . . . . . . . . . 10
8359, 64, 61, 82syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
844adantr 465 . . . . . . . . . 10
855adantr 465 . . . . . . . . . 10
86 ressabs 14395 . . . . . . . . . 10
8784, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . . . 9
8883, 87eqtr3d 2497 . . . . . . . 8
8988oveq1d 6237 . . . . . . 7
9063, 79, 893eqtrd 2499 . . . . . 6
9190oveq1d 6237 . . . . 5
92 ovex 6247 . . . . . 6
9333adantr 465 . . . . . 6
94 setsabs 14361 . . . . . 6
9592, 93, 94sylancr 663 . . . . 5
9691, 95eqtrd 2495 . . . 4
9758, 96pm2.61dan 789 . . 3
988, 97eqtrd 2495 . 2
99 eqid 2454 . . . 4
100 rescabs.c . . . 4
10199, 100, 4, 67rescval2 14900 . . 3
102101oveq1d 6237 . 2
103 eqid 2454 . . 3
104103, 100, 6, 7rescval2 14900 . 2
10598, 102, 1043eqtr4d 2505 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   cvv 3081  i^icin 3441  C_wss 3442  <.cop 3999  X.cxp 4955  Fnwfn 5532  `cfv 5537  (class class class)co 6222  1c1 9420  4c4 10511  ;cdc 10894   cnx 14329   csts 14330   cbs 14332   cress 14333   chom 14408   cresc 14880
This theorem is referenced by:  subsubc  14922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-hom 14421  df-resc 14883
  Copyright terms: Public domain W3C validator