MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs Unicode version

Theorem rescabs 14686
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c
rescabs.h
rescabs.j
rescabs.s
rescabs.t
Assertion
Ref Expression
rescabs

Proof of Theorem rescabs
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . 4
2 ovex 6086 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 rescabs.s . . . . 5
5 rescabs.t . . . . 5
64, 5ssexd 4414 . . . 4
7 rescabs.j . . . 4
81, 3, 6, 7rescval2 14681 . . 3
9 simpr 451 . . . . . . 7
102a1i 11 . . . . . . 7
116adantr 455 . . . . . . 7
12 eqid 2422 . . . . . . . 8
13 baseid 14160 . . . . . . . . 9
14 1re 9331 . . . . . . . . . . 11
15 1nn 10279 . . . . . . . . . . . 12
16 4nn0 10544 . . . . . . . . . . . 12
17 1nn0 10541 . . . . . . . . . . . 12
18 1lt10 10478 . . . . . . . . . . . 12
1915, 16, 17, 18declti 10725 . . . . . . . . . . 11
2014, 19ltneii 9433 . . . . . . . . . 10
21 basendx 14163 . . . . . . . . . . 11
22 homndx 14293 . . . . . . . . . . 11
2321, 22neeq12i 2599 . . . . . . . . . 10
2420, 23mpbir 203 . . . . . . . . 9
2513, 24setsnid 14156 . . . . . . . 8
2612, 25ressid2 14166 . . . . . . 7
279, 10, 11, 26syl3anc 1203 . . . . . 6
2827oveq1d 6076 . . . . 5
29 ovex 6086 . . . . . 6
30 xpexg 6477 . . . . . . . . 9
316, 6, 30syl2anc 646 . . . . . . . 8
32 fnex 5913 . . . . . . . 8
337, 31, 32syl2anc 646 . . . . . . 7
3433adantr 455 . . . . . 6
35 setsabs 14143 . . . . . 6
3629, 34, 35sylancr 648 . . . . 5
37 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14
38 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38ressbas 14168 . . . . . . . . . . . . 13
404, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4140sseq1d 3360 . . . . . . . . . . 11
4241biimpar 475 . . . . . . . . . 10
43 inss2 3548 . . . . . . . . . . 11
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10
4542, 44ssind 3551 . . . . . . . . 9
465adantr 455 . . . . . . . . . 10
47 ssrin 3552 . . . . . . . . . 10
4846, 47syl 16 . . . . . . . . 9
4945, 48eqssd 3350 . . . . . . . 8
5049oveq2d 6077 . . . . . . 7
514adantr 455 . . . . . . . 8
5238ressinbas 14174 . . . . . . . 8
5351, 52syl 16 . . . . . . 7
5438ressinbas 14174 . . . . . . . 8
5511, 54syl 16 . . . . . . 7
5650, 53, 553eqtr4d 2464 . . . . . 6
5756oveq1d 6076 . . . . 5
5828, 36, 573eqtrd 2458 . . . 4
59 simpr 451 . . . . . . . 8
602a1i 11 . . . . . . . 8
616adantr 455 . . . . . . . 8
6212, 25ressval2 14167 . . . . . . . 8
6359, 60, 61, 62syl3anc 1203 . . . . . . 7
6429a1i 11 . . . . . . . 8
6524necomi 2673 . . . . . . . . 9
6665a1i 11 . . . . . . . 8
67 rescabs.h . . . . . . . . . 10
68 xpexg 6477 . . . . . . . . . . 11
694, 4, 68syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
70 fnex 5913 . . . . . . . . . 10
7167, 69, 70syl2anc 646 . . . . . . . . 9
7271adantr 455 . . . . . . . 8
73 fvex 5671 . . . . . . . . . 10
7473inex2 4409 . . . . . . . . 9
7574a1i 11 . . . . . . . 8
76 fvex 5671 . . . . . . . . 9
77 fvex 5671 . . . . . . . . 9
7876, 77setscom 14144 . . . . . . . 8
7964, 66, 72, 75, 78syl22anc 1204 . . . . . . 7
80 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
81 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
8280, 81ressval2 14167 . . . . . . . . . 10
8359, 64, 61, 82syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
844adantr 455 . . . . . . . . . 10
855adantr 455 . . . . . . . . . 10
86 ressabs 14176 . . . . . . . . . 10
8784, 85, 86syl2anc 646 . . . . . . . . 9
8883, 87eqtr3d 2456 . . . . . . . 8
8988oveq1d 6076 . . . . . . 7
9063, 79, 893eqtrd 2458 . . . . . 6
9190oveq1d 6076 . . . . 5
92 ovex 6086 . . . . . 6
9333adantr 455 . . . . . 6
94 setsabs 14143 . . . . . 6
9592, 93, 94sylancr 648 . . . . 5
9691, 95eqtrd 2454 . . . 4
9758, 96pm2.61dan 774 . . 3
988, 97eqtrd 2454 . 2
99 eqid 2422 . . . 4
100 rescabs.c . . . 4
10199, 100, 4, 67rescval2 14681 . . 3
102101oveq1d 6076 . 2
103 eqid 2422 . . 3
104103, 100, 6, 7rescval2 14681 . 2
10598, 102, 1043eqtr4d 2464 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   cvv 2951  i^icin 3304  C_wss 3305  <.cop 3856  X.cxp 4809  Fnwfn 5385  `cfv 5390  (class class class)co 6061  1c1 9229  4c4 10319  ;cdc 10700   cnx 14111   csts 14112   cbs 14114   cress 14115   chom 14189   cresc 14661
This theorem is referenced by:  subsubc  14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-hom 14202  df-resc 14664
  Copyright terms: Public domain W3C validator